Классическое определение вероятности события. Свойства вероятности

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности наступления события.

Назовем элементарным исходом каждый из равновозможных результатов испытания.

Исход называется благоприятствующим (благоприятным) событию А, если его появление влечет за собой наступление события А.

Классическое определение: вероятность события А равна отношению числа благоприятных для данного события исходов к общему числу возможных исходов.

(1)
где P (A) – вероятность события А,

m – число благоприятных исходов,

n – число всех возможных исходов.

Пример: В лотерее 1000 билетов, из них 700 невыигрышных. Какова вероятность выигрыша по одному приобретенному билету.

Решение:

Событие А – приобретен выигрышный билет

Число возможных исходов n =1000 – это общее число билетов в лотерее.

Число исходов, благоприятствующих событию А – это число выигрышных билетов, т.е., m =1000-700=300.

По классическому определению вероятности:

Ответ: .

Отметим свойства вероятности события:

1) Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. 0≤ P (A)≤1.

2) Вероятность достоверного события равна 1.

3) Вероятность невозможного события равна 0.

Кроме классического существуют еще геометрическое и статистическое определения вероятности.

Элементы комбинаторики.

Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа исходов широко используют формулы комбинаторики.

Пусть дано множество N из n различных элементов.

Определение 1: Комбинации, в каждую из которых входят все n элементов и которые отличаются друг от друга только порядком элементов называются перестановками из n элементов.

P _n = n! (2),
где n! (n -факториал) – произведение n первых чисел натурального ряда, т.е.

n! = 1∙2∙3∙…∙(n –1)∙ n

Так, например, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

Определение 2: Комбинации, каждая из которых содержит m элементов (m ≤ n) и отличающиеся друг от друга или составом элементов или их порядком называются размещениями из n по m элементов.

(3)
Определение 3: Комбинации, каждая из которых содержит m элементов (m ≤ n) и отличающиеся друг от друга только составом элементов называются сочетаниями из n по m элементов.

(4)
Замечание: изменение порядка элементов внутри одного сочетания не приводит к новому сочетанию.

Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач

Правило суммы: если объект А может быть выбран m способами, а объект В – n способами, то выбор либо А либо В может быть осуществлен m + n способами.

Правило произведения: если объект А может быть выбран m способами, а объект В после каждого такого выбора можно выбрать n способами, то пара объектов А и В в указанном порядке может быть выбрана m ∙ n способами.

Пример: В ящике находятся 6 синих и 8 белых шаров. Наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что: а) выбраны только синие шары, б) выбрано 2 синих и 1 белый шар.

Решение:

а) Событие А – извлечено 3 синих шара.

Для отыскания вероятности события А воспользуемся классическим определением вероятности:

Число возможных исходов n – это число способов извлечения 3 шаров из имеющихся в ящике 14 шаров. Т.к. порядок извлечения шаров не важен, то такие комбинации представляют собой сочетания, т.е. n = .

Число исходов, благоприятствующих событию А – число комбинаций из имеющихся 6 синих шаров по 3, равно m = .

Значит,

б) Событие В – извлечено 2 синих и один белый шар.

Число возможных исходов n =364

Число исходов, благоприятствующих событию В – число способов выбора из имеющихся 6 синих шаров двух шаров и из 8 белых шаров одного шара, равно

m = .

Значит,

Ответ: а) , б)

Поиск по сайту: