Задание по анализу GERT-сети

Расчетная работа №2

Тема: Сетевое планирование. GERT-методика.

Дисциплина: Методы оптимизации

Выполнила студентка гр. 5172/10 _______________ Пономарева Н.Н.

^{(подпись)}

Преподаватель _______________ Сиднев А.Г.

^{(подпись)}

«__» _______ 2012г.

Санкт-Петербург

Задание по анализу GERT-сети

Дано:

1. Граф GERT-сети

2. каждой дуге-работе поставлены в соответствие следующие данные:

А) Закон распределения времени выполнения работы. Будем считать его нормальным

Б) параметры закона распределения (математическое ожидание и дисперсия )

В) вероятность выполнения работы, показанная на графе.

Найти:

1. Вероятность выхода в завершающий узел графа (для всех вариантов узел 6)

2. Математическое ожидания

3. Дисперсию времени выхода процесса в завершающий узел графа

В отчете перечислить все петли всех порядков, обнаруженные на графе, выписать уравнение Мейсона, получить решение для и найти требуемые параметры. Примерно так, как это сделано в примере на стр. 403 –409 книги Филипса и Гарсиа «Методы анализа сетей»

Рис.1. Граф GERT-сети

Данные:

Т.к. для решения поставленной задачи необходимо найти вероятность, математическое ожидание и дисперсия времени работы, необходимо ввести дугу (6,1) (Показано на рис. 2).

Рис.2. Граф GERT-сети

Сопоставим соответствие каждой работе ij:

Нормативное время рассматривается как случайная величина с конечным математическим ожиданием и дисперсией, описанное нормальным (в реализации данной задачи) законом распределения времени.

Нормальный закон распределения времени выполнения работы:

Представим расчет W-функции для GERT-сети в виде таблицы (в табл.1 представлены W-функции для дуг рассматриваемой сети).

Таблица 1. W-функция для GERT-сети

Начало	Конец	Ветвь	Вероятность	Математическое ожидание	Дисперсия	W-функция
			0,8
			0,2
			0,3
			0,7
			0,5
			0,1
			0,4

По сети, изображенной на рис.2, определяем следующие эквивалентные коэффициенты пропускания петель первого порядка, учитывая, что

Эквивалентный коэффициент пропускания для петли порядка n равен произведению коэффициентов пропускания n не связанных между собой петель первого порядка:

Петли первого порядка и соответствующие им эквивалентные коэффициенты:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Петли второго порядка и соответствующие им эквивалентные коэффициенты:

1.

2.

Правило Мэйсона (топологическое уравнение для замкнутых графов):

Запишем уравнение правила Мэйсона для данной GERT-сети:

;

Выразим

Тогда примет вид:

Подставим в полученную формулу выражения для W-функций, приведенных в таблице 1:

Вероятность:

Т.к.

производящая функция моментовдля дуги (6,1). Т.к. функция переменной s, то центральные моменты относительно начала координат м.б. получены путем дифференцирования по s функции и вычислению 1 и 2 производной при s = 0. Т.к. ожидаемая величина нормативного времени, то по определению есть дисперсия этого норматива.

Математическое ожидание: ;

Дисперсия:

Для расчета дифференциалов от экспоненциальной функции воспользуемся программой Symbol Math Toolbox для Mathlab, позволяющей работать с символьным типом:

Объявление символьного типа:

>> syms s;

Вычисление результата.

Общий вид:

diff(дифференцируемое выражение, ‘переменная дифференцирования’, порядок)

>> mu1 = diff((0.07*exp(195*s+53.5*s^2)+0.56*exp(91*s+22.5*s^2)+0.08*exp(143*s+37.5*s^2)-0.056*exp(113*s+30.5*s^2))/(1-0.1*exp(22*s+8*s^2)-0.24*exp(66*s+18*s^2)-0.03*exp(170*s+49*s^2)+0.024*exp(88*s+26*s^2)));

>> mu1

mu1 =

(((14*exp((45*s^2)/2 + 91*s))/25 - (7*exp((61*s^2)/2 + 113*s))/125 + (2*exp((75*s^2)/2 + 143*s))/25 + (7*exp((107*s^2)/2 + 195*s))/100)*((exp(8*s^2 + 22*s)*(16*s + 22))/10 + (6*exp(18*s^2 + 66*s)*(36*s + 66))/25 - (3*exp(26*s^2 + 88*s)*(52*s + 88))/125 + (3*exp(49*s^2 + 170*s)*(98*s + 170))/100))/(exp(8*s^2 + 22*s)/10 + (6*exp(18*s^2 + 66*s))/25 - (3*exp(26*s^2 + 88*s))/125 + (3*exp(49*s^2 + 170*s))/100 - 1)^2 - ((14*exp((45*s^2)/2 + 91*s)*(45*s + 91))/25 - (7*exp((61*s^2)/2 + 113*s)*(61*s + 113))/125 + (2*exp((75*s^2)/2 + 143*s)*(75*s + 143))/25 + (7*exp((107*s^2)/2 + 195*s)*(107*s + 195))/100)/(exp(8*s^2 + 22*s)/10 + (6*exp(18*s^2 + 66*s))/25 - (3*exp(26*s^2 + 88*s))/125 + (3*exp(49*s^2 + 170*s))/100 - 1)

>> s = 0;

>> mu1

mu1 =

138.7615

>> mu2 = diff((0.07*exp(195*s+53.5*s^2)+0.56*exp(91*s+22.5*s^2)+0.08*exp(143*s+37.5*s^2)-0.056*exp(113*s+30.5*s^2))/(1-0.1*exp(22*s+8*s^2)-0.24*exp(66*s+18*s^2)-0.03*exp(170*s+49*s^2)+0.024*exp(88*s+26*s^2)),'s',2);

>> mu2

mu2 =

2*(1/10*exp(8*s^2 + 22*s)*(16*s + 22) + 6/25*exp(18*s^2 + 66*s)*(36*s + 66) - 3/125*exp(26*s^2 + 88*s)*(52*s + 88) + 3/100*exp(49*s^2 + 170*s)*(98*s + 170))*(14/25*exp(45/2*s^2 + 91*s)*(45*s + 91) - 7/125*exp(61/2*s^2 + 113*s)*(61*s + 113) + 2/25*exp(75/2*s^2 + 143*s)*(75*s + 143) + 7/100*exp(107/2*s^2 + 195*s)*(107*s + 195))/(1/10*exp(8*s^2 + 22*s) + 6/25*exp(18*s^2 + 66*s) - 3/125*exp(26*s^2 + 88*s) + 3/100*exp(49*s^2 + 170*s) - 1)^2 - 1/(1/10*exp(8*s^2 + 22*s) + 6/25*exp(18*s^2 + 66*s) - 3/125*exp(26*s^2 + 88*s) + 3/100*exp(49*s^2 + 170*s) - 1)*(126/5*exp(45/2*s^2 + 91*s) - 427/125*exp(61/2*s^2 + 113*s) + 6*exp(75/2*s^2 + 143*s) + 749/100*exp(107/2*s^2 + 195*s) + 14/25*exp(45/2*s^2 + 91*s)*(45*s + 91)^2 - 7/125*exp(61/2*s^2 + 113*s)*(61*s + 113)^2 + 2/25*exp(75/2*s^2 + 143*s)*(75*s + 143)^2 + 7/100*exp(107/2*s^2 + 195*s)*(107*s + 195)^2) + (14/25*exp(45/2*s^2 + 91*s) - 7/125*exp(61/2*s^2 + 113*s) + 2/25*exp(75/2*s^2 + 143*s) + 7/100*exp(107/2*s^2 + 195*s))/(1/10*exp(8*s^2 + 22*s) + 6/25*exp(18*s^2 + 66*s) - 3/125*exp(26*s^2 + 88*s) + 3/100*exp(49*s^2 + 170*s) - 1)^2*(8/5*exp(8*s^2 + 22*s) + 216/25*exp(18*s^2 + 66*s) - 156/125*exp(26*s^2 + 88*s) + 147/50*exp(49*s^2 + 170*s) + 1/10*exp(8*s^2 + 22*s)*(16*s + 22)^2 + 6/25*exp(18*s^2 + 66*s)*(36*s + 66)^2 - 3/125*exp(26*s^2 + 88*s)*(52*s + 88)^2 + 3/100*exp(49*s^2 + 170*s)*(98*s + 170)^2) - 2*(14/25*exp(45/2*s^2 + 91*s) - 7/125*exp(61/2*s^2 + 113*s) + 2/25*exp(75/2*s^2 + 143*s) + 7/100*exp(107/2*s^2 + 195*s))*(1/10*exp(8*s^2 + 22*s)*(16*s + 22) + 6/25*exp(18*s^2 + 66*s)*(36*s + 66) - 3/125*exp(26*s^2 + 88*s)*(52*s + 88) + 3/100*exp(49*s^2 + 170*s)*(98*s + 170))^2/(1/10*exp(8*s^2 + 22*s) + 6/25*exp(18*s^2 + 66*s) - 3/125*exp(26*s^2 + 88*s) + 3/100*exp(49*s^2 + 170*s) - 1)^3

>> s = 0;

>> mu2

mu2 =

2.4278e+004

Найдем дисперсию:

>> sigma = mu2 - (mu1^2);

>> sigma

sigma =

5.0234e+003

Решение с помощью приложения Mathcad не позволяет вывести выражение для дифференциала второго порядка (из-за ограничения длины).

Результаты расчетов:

Предположим, что вычисления ведутся в секундах (значение норматива), тогда нормативное время составит: , дисперсия норматива:

Поиск по сайту: