Свойства условно сходящихся рядов

Теорема2. Теорема Римана для условно сходящихся рядов. Если ряд сходится условно то, каково бы ни было наперед взятое число L, можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу L: .

Замечание1.

Таким образом, очевидно, что абсолютно сходящиеся ряды сходятся потому, что их члены достаточно быстро стремятся к нулю при . Условная сходимость происходит за счет частичной компенсации членов с разными знаками.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся числовой ряд.

Определение3. Знакопеременный числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних числа этого ряда имеют противоположные знаки и записываются в общем виде следующим образом: , , где , или , где , .

Например: ,

Необходимым и достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда является признак Лейбница.

Теорема4. Признак Лейбница (Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 г.г.) – немецкий математик, философ, физик, юрист, языковед.).

Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов ряда:

1. монотонно убывают:

или , (11)

2. , (12)

то ряд сходится, и его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда, то есть .

Доказательство: Для частичных сумм с чётным номером имеем:

.

Каждая из разностей, стоящих в скобках, положительна по условию теоремы (11), значит, и последовательность является возрастающей. С другой стороны,

Здесь величины, заключённые в скобки, также положительны по условию (12) и они вычитаются из , следовательно,

т. е. последовательность четных частичных сумм { S _{2 n} } ограничена сверху.

Тогда по теореме “ всякая монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел ”, существует предел { S _{2 n} }

Для частичных сумм с нечётными номерами имеем

. Из того, что вытекает

Итак, частичные суммы и с чётными, и с нечётными номерами имеют общий предел S, следовательно, существует предел

,

который является суммой ряда, т. е. ряд сходится.

Ч.т.д.

Исследование знакочередующегося ряда можно проводить по схеме:

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Проверим выполнение условий признака Лейбница для этого ряда. Очевидно, . Не выполнен необходимый признак сходимости. Следовательно, ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд , называемый рядом Лейбница.

Решение.

1. Рассмотрим ряд, составленный из модулей: .

Это расходящийся гармонический числовой ряд.

Проверим выполнение условий признака Лейбница для этого знакочередующегося ряда:

а) , ; , ; , условие выполнено, поэтому проверяем выполнение второй части признака Лейбница;

б) . Признак Лейбница для данного ряда выполняется, значит, ряд сходится условно.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд , называемый рядом Лейбница.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд , называемый рядом Лейбница.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд , называемый рядом Лейбница.

Поиск по сайту: