Постоянный электрический ток

ГОУ ВПО «ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

­­­­­­­­­­­­­­­­­

Кафедра общей физики

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч П О Ф И З И К Е

ЧАСТЬ 2

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

Методические указания для заочников

Тверь 2010

Электростатика

1. Закон Кулона определяет силу взаимодействия F между двумя точечными зарядами q₁ и q₂. Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами и формой которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других заряженных тел.

,

где r – расстояние между точечными зарядами q₁ и q₂; –кулоновский коэффициент; e ₀ –диэлектрическая постоянная; e – относительная диэлектрическая проницаемость среды (для вакуума, воздуха, а также по умолчанию e = 1).

2. Напряженность Е – силовая характеристика электрического поля. Она зависит от вида заряженного тела, создающего поле:

− для поля, создаваемого точечным зарядом Q

,

где r – расстояние заряда до заданной точки поля;

− для поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью

,

где - поверхностная плотность заряда на плоскости, ΔQ – заряд участка плоскости площадью ΔS;

− для поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной нитью (цилиндром)

,

где - линейная плотность заряда на нити, ΔQ – заряд участка нити длиной Δl, r – расстояние от оси нити (цилиндра) до заданной точки поля;

− для поля, создаваемого заряженной проводящей сферой радиуса R и заряда Q

,

где r – расстояние от центра сферы до заданной точки поля.

3. Принцип суперпозиции полей заключается в том, что если в некоторой точке пространства одновременно действует несколько электростатических полей с напряженностями и т.д., то вектор результирующей напряженности электрического поля в данной точке

Т.к. напряженности складываются векторно, то при расчетах по формуле следует учитывать направления векторов и т.д. Напряженности направлены по касательной к силовым линиям, которые идут от положительного заряда к отрицательному.

В однородном электрическом поле вектора напряженности во всех точках имеют одинаковые значения и направления.

4. Сила, действующая на пробный точечный заряд q в данной точке поля

.

5. Потенциал φ – энергетическая характеристика поля. Потенциал связан с напряженностью

,

где Е_х – проекции напряженности на ось ОХ.

Тогда

− для однородного электрического поля (например, для поля, создаваемого заряженной плоскостью)

,

где – напряжение или разность потенциалов между точками электрического поля, расстояние между которыми равно Δ х;

− для поля, создаваемого точечным зарядом Q

;

− для поля, создаваемого заряженной проводящей сферой радиуса R и заряда Q

− для поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной нитью (цилиндром) с линейной плотностью заряда τ

.

6. Если в некоторой точке пространства одновременно действует несколько электростатических полей, то их потенциалы в данной точке складываются с учетом их знака

.

7. Потенциальная энергия пробного точечного заряда q в заданной точке поля

.

8. Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал φ₁, в другую, имеющую потенциал φ₂

.

9. С другой стороны, при совершении работы электрическое поле разгоняет заряд q, т.е. увеличивает его кинетическую энергию W_К. Тогда

,

где m – масса заряженной частицы, v₁ – скорость частицы при попадании в электрическое поле и v₂ – скорость частицы после прохождения разности потенциалов U.

Если начальная скорость частицы в электрическом поле , а конечная , то

.

Пример 1.

Расстояние между двумя положительными точечными зарядами Q₁ = 9 нКл и Q₂ = 1 нКл равно d = 8 см. На каком расстоянии от первого заряда расположена точка, в котором напряженность электростатического поля равна нулю? Чему равен потенциал поля в этой точке?

Решение:

Т.к. заряды Q₁ и Q₂ положительные, то напряженности их электрических полей в искомой точке и направлены от зарядов. По принципу суперпозиции полей результирующая напряженность в искомой точке . Очевидно, что точка в которой результирующая напряженность равна нулю должна быть расположена на прямой, соединяющей заряды, между зарядами, т. к. напряженности и будут направлены противоположно. Тогда , следовательно . Модули напряженностей полей точечных зарядов Q₁ и Q₂ равны и , где r₁ и r₂ – расстояния от зарядов Q₁ и Q₂ до искомой точки. Причем . Тогда

.

Потенциал электрического поля в данной точке , где φ₁ и φ₂ – потенциалы полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Потенциалы электрических полей точечных зарядов Q₁ и Q₂ равны и . Тогда, принимая, что и по умолчанию ε = 1, получаем

В.

Пример 2.

Электрическое поле создано бесконечной однородно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ = 5 мкКл/м² в среде с диэлектрической проницаемостью ε = 4. Неподвижный точеный заряд q = 2 нКл, имеющий массу m = 1 мг, под действием этого поля переместился на расстояние l = 10 см вдоль силовой линии. Определить скорость заряда в конце перемещения.

Решение:

Напряженность поля, созданного равномерно заряженной бесконечной плоскостью,

, где Ф/м. Из формулы видно, что Е не зависит от расстояния от плоскости до заданной точки, следовательно, будет постоянной во всех точках поля и поле будет однородным. Для однородного электрического поля разность потенциалов , где - расстояние между точками с потенциалами φ₁ и φ₂.

Т.к. в начальный момент скорость заряда равна нулю , тогда м/с.

Постоянный электрический ток

1. Электрический ток – это направленное движение заряженных частиц, например, электронов в металлическом проводнике. Силой тока I называется величина, численно равная заряду, протекающему через поперечное сечение проводника в единицу времени

.

Если , то ток постоянный и сила тока

,

где q – заряд, протекающий через поперечное сечение проводника за время Δt.

2. Закон Ома для участка цепи, не содержащего источников ЭДС

,

где U – напряжение (разность потенциалов) на концах участка; R – сопротивление участка.

3. Закон Ома для полной цепи с источником ЭДС

,

где Е – электродвижущая сила (ЭДС) источника; r – внутреннее сопротивление цепи (сопротивление источника).

4. Сопротивление однородного проводника длиной l

,

где S – площадь поперечного сечения проводника; ρ – удельное сопротивление материала проводника.

5. Проводники могут соединяться между собой последовательно и параллельно

− для последовательного соединения

общее сопротивление ;

общее напряжение на концах участка ;

сила тока на участке одинакова ;

если последовательно соединены N одинаковых сопротивлений R₁, то их общее сопротивление ;

− для параллельного соединения

общее сопротивление или ;

напряжения на концах каждого участка одинаковы ;

сила тока на неразветвленном участке ;

если параллельно соединены N одинаковых сопротивлений R₁, то их общее сопротивление .

6. Мощность тока

.

7. По закону Джоуля-Ленца при протекании тока в электрической цепи выделяется теплота равная работе электрического тока

,

где Δt – время протекания тока в цепи.

Пример 1

Определить падение напряжения на проводнике, имеющем сопротивление R = 100 Ом, если известно, что за время Δt = 5 минут по проводнику прошел заряд q = 150 Кл.

Решение:

Из закона Ома для участка цепи падение напряжения на проводнике , где I – сила тока в проводнике . Тогда Кл.

Пример 2

Два сопротивления R₁ = 6 Ом и R₂ = 4 Ом соединены параллельно и подключены к источнику Питания с внутренним сопротивлением r = 0,6 Ом. Определить ЭДС источника, если известно, что через источник идет ток силой I = 5 А.

Решение:

Из закона Ома для полной цепи ЭДС , где R – общее сопротивление нагрузки, I – общая сила тока в цепи, т.е. сила тока, протекающая через источник.

Для параллельного соединения проводников Ом.

Тогда В.

Пример 3

Какое количество теплоты выделится за одну секунду в латунном проводнике диаметром d = 2 мм и длиной l = 12,56 м при разности потенциалов на его концах U = 4 В?

Решение:

По закону Джоуля-Ленца в проводнике выделяется количество теплоты , где R – сопротивление проводника, Δt = 1 с – время протекания тока.

, где ρ – удельное сопротивление латуни (из справочника Ом·м), S – площадь сечения проводника. Для круглого сечения . Тогда

Дж.

Магнитное поле

1. Характеристики магнитного поля – вектор магнитной индукции и напряженность магнитного поля – связаны между собой соотношением

,

где μ₀ – магнитная постоянная; μ – магнитная проницаемость среды. Для вакуума, воздуха и по умолчанию μ = 1.

2. Согласно закону Био-Савара-Лапласа вектор магнитной индукции зависит от свойств среды, формы и размеров проводника, силы тока в нем и расстояния от проводника до заданной точки

− для магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током силой I

,

где r – расстояние от оси проводника до заданной точки поля;

− для магнитного поля, создаваемого круговым проводником радиуса R с током силой I в центре этого проводника

.

3. Принцип суперпозиции полей заключается в том, что если в некоторой точке пространства одновременно действует несколько магнитных полей с индукциями , то вектор результирующей индукции магнитного поля в данной точке

Вектора магнитной индукции складываются с учетом их направления. Вектор направлен по касательной к силовым линиям магнитного поля, которые представляют собой концентрические замкнутые линии. Направление силовых линий определяют по правилу «буравчика».

− для того чтобы определить направление вектора в магнитном поле бесконечного прямого проводника с током (проводник расположен перпендикулярно рисунку, ток направлен от нас) в заданной точке А (см. рис.), необходимо мысленно провести через эту точку линию магнитной индукции – окружность с центром на оси проводника (показана пунктиром) – и направить вектор В по касательной к окружности с учетом правила «буравчика» (его следует вращать так, чтобы он перемещался по направлению тока);

− для того чтобы определить направление вектора в магнитном поле кругового тока надо вращать «буравчик» по направлению тока в проводнике, и направление его перемещения укажет направление вектора магнитной индукции

Однородным называют такое магнитное поле, в котором вектор магнитной индукции во всех точках одинаков по модулю и направлению.

4. Закон Ампера говорит о том, что на проводник длиной l с током силой I, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В действует сила

,

где α – угол между направлением тока в проводнике и силовыми линиями поля.

Сила F направлена по правилу левой руки: вектор следует направить в ладонь левой руки, а 4 пальца по направлению тока в проводнике, тогда отогнутый на 90⁰ большой палец покажет направление .

5. Сила Лоренца действует со стороны магнитного поля с индукцией В на отдельную частицу с зарядом q, движущуюся в магнитном поле со скоростью v

,

где α – угол между направлением скорости частицы и силовыми линиями поля.

Сила Лоренца, действующая на положительно заряженную частицу, направлена по правилу левой руки: вектор следует направить в ладонь левой руки, а 4 пальца по направлению скорости, тогда отогнутый на 90⁰ большой палец покажет направление . Если частица отрицательная, то сила направлена в противоположную сторону.

Когда частица движется перпендикулярно силовым линиям, то и направлена перпендикулярно скорости. В этом случае заряженная частица движется по окружности.

6. Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S, помещенный в однородное магнитное поле

,

где α – угол между перпендикуляром, проведенным к контуру, и силовыми линиями.

7. Явление электромагнитной индукции заключается в том, что если замкнутый проводник поместить в магнитное поле, то при всяком изменении магнитного потока по проводнику течет ток, называемый индукционным и обусловленный возникновением в контуре электродвижущей силы – ЭДС индукции E _и . Согласно закону Фарадея, величина этой ЭДС равна скорости изменения магнитного потока:

.

Среднее значение ЭДС индукции E _cр за некоторый промежуток времени D t равно

,

где Ф ₁ и Ф ₂ – значения магнитного потока в начале и конце этого временного промежутка.

8. Если текущий по контуру ток i изменяется с течением времени, то изменяется и магнитный поток Ф. Это, в свою очередь, приводит к возникновению в контуре ЭДС самоиндукции E _си .

,

где L – индуктивность контура, зависящая от его размеров и числа витков.

Среднее значение ЭДС самоиндукции E_{си cр} за некоторый промежуток времени D t равно

,

где I ₁ и I ₂ – значения силы тока в начале и конце этого временного промежутка.

Пример 1.

По трем длинным прямым бесконечным параллельным проводникам текут токи I₁ = 2 А; I₂ = 2 А и I₃ = 4 А в одном направлении. Расстояния между проводниками одинаковы и равны l = 5 см. Определить силу, действующую со стороны первого и третьего проводников на единицу длины второго проводника.

Решение:

Пусть проводники расположены перпендикулярно плоскости рисунка и ток по ним идет от нас (см. рис.).

На второй проводник действуют магнитные поля, создаваемые первым и третьим проводниками. Тогда по принципу суперпозиции

Найдем направление и величину векторов магнитной индукции и . Силовые линии представляют окружности, направления которых определены по правилу «буравчика». В точке пересечения второго проводника вектора и направлены по касательным к своим силовым линиям. Модули векторов и . Т.к. вектора направлены в противоположные стороны и , то . По умолчанию принимаем . Магнитная постоянная Гн/м. Тогда

.

Вектор направлен вверх, т.к. В₃ > В₁.

По закону Ампера сила, действующая на второй проводник со стороны магнитного поля . Т.к , то α = 90⁰, а sin α = 1. Тогда принимая l = 1 м

мкН. По правилу левой руки сила направлена вправо.

Пример 2.

Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 30 В, попадает в однородное магнитное поле с индукцией В = 30 мТл перпендикулярно силовым линиям. Определите радиус траектории электрона и частоту его обращения в магнитном поле.

Решение:

Т.к. электрон влетает в поле перпендикулярно его силовым линиям, то он будет двигаться по окружности и на него со стороны магнитного поля действует сила Лоренца , где Кл – заряд электрона, v – его скорость. По II закону Ньютона , где кг – масса электрона, а – его нормальное ускорение. , где R – радиус кривизны траектории электрона. Тогда

.

Т.к электрон ускоряется в электрическом поле с разностью потенциалов U, то

м/с

и .

Частота вращения электрона n – это количество оборотов, которое он совершает за одну секунду, т.е. величина, обратная периоду

.

Пример 3.

Сколько витков провода должна содержать катушка с поперечным сечением площадью S = 50 см², чтобы в ней при изменении магнитной индукции от В₁ = 0,1 Тл до В₂ = 1,1 Тл в течении Δt = 5 мс возбуждалась средняя ЭДС индукции В? Силовые линии поля направлены вдоль оси катушки.

Решение:

По закону Фарадея для явления электромагнитной индукции ее средняя ЭДС, возбуждаемая в одном витке , где Ф ₁ и Ф ₂ – значения магнитного потока в начале и конце промежутка времени Δt. Т.к. катушка содержит N витков, то

. Магнитный поток , где α – угол между перпендикуляром, проведенным к контуру, и силовыми линиями. Т.к. силовые линии направлены вдоль оси катушки, то α = 0⁰, а cos α = 1. Тогда и .

Поиск по сайту: