Уравнение бернулли для струйки идеальной жидкости

Гидравлика

· О сайте

· Ссылки

· Часть 1

· | 2

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении, в которой выделим два сечения 1-1 и2-2. Площади живых сечений потока обозначим dЙ1 и dЙ2. Положение центров тяжести этих сечений относительно произвольно расположенной линии сравнения (нулевой линии) 0- 0 характеризуется величинами z1 и z2. Давления и скорости жидкости в этих сечениях имеют значения P1, P2 и u1, u2 соответственно.

Будем считать, что движение струйки жидкости происходит только под действием силы давления (внутреннее трение в жидкости отсутствует), а давление обладает свойствами статического и действует по нормали внутрь рассматриваемого объёма.

За малый промежуток времени dt частицы жидкости из 1-1 переместятся в 1'-1' на расстояние, равное u1dt, а частицы из 2-2 в 2' - 2' на расстояние u2dt.

Согласно теореме кинетической энергии приращение энергии тела (в данном случае выделенного объёма жидкости) равно сумме работ всех действующих на него сил.

Работу в данном случае производят силы давления, действующие в рассматриваемых живых сечениях струйки 1-1 и 2-2, а также силы тяжести. Тогда работа сил давления в сечении 1-1 будет положительна, т.к. направление силы совпадает с направлением скорости струйки. Она будет равна произведению силы p1dЙ1 на путь u1dt:

.

Работа сил давления в сечении 2-2 будет отрицательной, т.к. направление силы противоположно направлению скорости. Её значение

.

Полная работа, выполненная силами давления, примет вид:

.

Работа сил тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выделенного объёма жидкости при перемещении из сечения 1-1 в сечение 2-2. С учётом условия неразрывности потока и несжимаемости жидкости выделенные элементарные объёмы будут равны и, следовательно, будут равны их веса dG:

.

При перетекании от сечения 1-1 в сечение 2-2 центр тяжести выделенного объёма переместится на разность высот (z1 – z2) и работа, произведённая силами тяжести, составит:

.

ГИДРОДИНАМИКА

УРАНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Уравнение Бернулли является одним из основополагающих уравнений в гидродинамике. На его основе базируется решение большинства практических задач. По своей сути, уравнение Бернулли является математической формулировкой закона сохранения энергии, записанной применительно к задачам динамики жидкости.

В связи с этим, начнем с закона сохранения энергии для движущейся жидкости. Какими видами энергии обладает движущаяся жидкость?

1 Кинетическая энергия.

2 Потенциальная энергия, которую в свою очередь можно разделить:

- Энергия положения (определяемая высотой, на которой находится жидкость);

- Энергия сжатия (определяемая величиной давления – аналогично энергии сжатой пружины).

Живое сечение 2

z Живое сечение 1

u

z₁

Кинетическая энергия:

Потенциальная энергия положения: r*g*z

z₁ Потенциальная энергия сжатия:

Р (величина давления)

А сейчас попробуем воспользоваться практически информацией, полученной в результате использования этого уравнения.

Например: в результате расчета энергии водопроводной воды в трубах вы получили энергию в количестве 10 кДж/кг. Много это или мало? Достаточно ли этой энергии для водоснабжения 10-этажного дома? Подобные вопросы можно продолжать, но суть проблемы уже достаточно ясна.

Отчасти традиции, отчасти наглядность получаемых результатов заставили преобразовать это уравнение, представив результат в несколько ином виде. Что мы получим, если разделить левую и правую части уравнения на плотность и ускорения свободного падения (вместе это удельный вес)?

ЗАПОМНИТЬ!

Деление полной энергии на удельный вес дало высоту столба жидкости, потенциальная энергия которого равна полной энергии движущейся жидкости. Эта величина получила название НАПОР.

ПРИМЕР: Если расчет дал величину напора 1 м (как в предыдущем примере), то ясно, что вода не дойдет не только до 10, но даже до 1 этажа.

Замечание 1: Часто напор путают с давлением. Это не верно. Как видно из уравнения, напор складывается из 3-х составляющих. Так, при увеличении скорости происходит снижение давления, но напор не изменяется (если нет потерь энергии на трение). Это снижение давление может быть настолько существенным, что мы можем получить даже вакуум. На этом принципе построена работа такого распространенного в технике устройства как эжектор, в котором получают низкие давления за счет разгона в сужающем устройстве высоконапорной жидкости. Другой пример – карбюратор бензинового двигателя, в котором подсос и распыливание топлива происходит за счет разрежения, возникающего в сужающей части воздушного канала.

Замечание 2: Куда движется жидкость? Стандартный ответ – оттуда, где давление выше и туда, где давление ниже. Это верно, но далеко не всегда. В упоминаемом выше эжекторе давление в сужающейся части ниже, чем на выходе в расширяющейся части. Таким образом, в выпускной части эжектора жидкость движется от участка, где давление ниже, к участку, где давление выше.

Верный ответ – жидкость движется от сечения, где энергия (напор) выше к сечению, где энергия (напор) ниже.

Замечание 3: Как выбрать плоскость, относительно которой отсчитывается высота Z. Ответ: уравнение будет работать относительно любой плоскости отсчета: уровень нулевой отметки здания, уровень моря, уровень крыши здания и т.д. Можно лишь дать рекомендации. Наиболее удобным с точки зрения расчета будет выбор самого нижнего уровня установки. В этом случае не приходится работать с отрицательными высотами.

Рассмотрим жидкость, движущуюся от сечения 1 к сечению 2. При движении идеальной жидкости нет потерь энергии на трение, а следовательно суммарная энергия жидкости не изменяется, происходит только преобразование одного вида энергии в другие. Пример: подъем воды на высоту 10 м, если скорость не изменяется (труба или канал постоянного диаметра), а также не учитывать потери на трение приведет к понижению давления на 1 ати. Уравнение энергии для сечений 1-1 и 2-2 будет иметь вид.

Е₁ = Е₂, или в виде напоров Н₁ = Н₂

В виде расчетной формулы мы получим

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Поиск по сайту: