|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вычисление площади с помощью криволинейного интеграла второго родаВ п.2.5.было установлено, что работа силового поля при перемещении материальной точки вдоль кривой Г выражается криволинейным интегралом второго рода по этой кривой. Применение криволинейного интеграла второго рода к решению физических задач будет изложено в теории поля. Покажем, что криволинейный интеграл может быть использован для вычисления площади плоской фигуры. Пусть D -некоторая область (правильная) с границей L и S - площадь этой области. Рассмотрим криволинейный интеграл Применив к нему формулу Грина, где получим
Аналогично получается другая формула Можно получить иные формулы. Для этого достаточно выбрать функции и такими, чтобы они удовлетворяли условию Так, если в интеграле положить то и Следовательно, (1) Формула (1) отличается от предыдущих двух симметричностью формы.
ПРИМЕР 1. Вычислить площадь области, ограниченной астроидой (см. рис.16). Применяя формулу (1), получим Рис.16. К примеру 1.
Формула Грина.
Если D - односвязная область, то AD (граница области D) - простая замкнутая кривая, обход по которой совершается против часовой стрелки. Если D – неодносвязна, то AD - совокупность замкнутых кривых, обход по которым совершается так, что D остается слева.
Первообразная дифференциального выражения Если в односвязной области D для функций P и Q выполняется условие Эйлера , то дифференциальное выражение является полным дифференциалом, т. е. существует функции (первообразная), такая, что всюду в области D. Первообразная может быть вычислена по одной из формул: Криволинейный интеграл второго рода от выражения, являющегося полным дифференциалом, не зависит от формы пути, соединяющего точки и может быть вычислен с помощью формулы двойной подстановки:
Заключение В данной курсовой работе на тему «Геометрическое и физическое применение криволинейных интегралов» мы рассмотрели основные теоретические сведения необходимые для глубокого понимания данной темы, а также их применение к решению прикладных задач. С помощью теории криволинейных интегралов изложено нахождение площадей, ограниченных различными кривыми, объёмов, ограниченных различными поверхностями, в том числе нахождение площадей и объёмов тел вращения. А также описано нахождение длины дуги заданной кривой на данном отрезке. Представлены некоторые механические приложения для криволинейных интегралов: нахождение статических моментов, координат центра тяжести кривой, плоской и объёмной фигур, масса кривой с переменной линейной плотностью. Приведены физические приложения, например, нахождение механической работы, работы силового поля и притяжение материальной точки материальной кривой. В работе приведены некоторые применения криволинейных и поверхностных интегралов. Также в ней подробно разобраны наглядные примеры на применение криволинейного интеграла первого и второго рода. Значимость данной курсовой работы заключается в систематизации материала. Данная работа может быть использована в качестве пособия для самостоятельного изучения данной темы.
Список литературы 1. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. Серия "Математика в техническом университете", вып. 9. М.: МГТУ, 2001. 2. Краснов М.Л., Киселев А.И., и др. Вся высшая математика. Элементы теории поля. Серия "Математика в техническом университете", Т. 4. М.: УРСС, 2000. 3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 2. М.: Дрофа, 2003. 4. Мельников Д.А., Неклюдов А.В., Титов К.В. Криволинейные и поверхностные интегралы. Методические указание к выполнению типового расчета поля. МГТУ, 2002. 5. Соболев С.К., Ильичев А.Т. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически в полярных координатах. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. - 80 с.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |