|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Определение криволинейного интеграла второго родаВ этом разделе мы познакомимся с еще одним типом криволинейных интегралов. Начнем с определения ориентированной кривой в пространстве. Определение 1. Кривую Г, определяемую уравнением , будем называть ориентированной кривой, если на ней задан порядок следования точек, а именно, точка следует за точкой , если радиус-вектор точки отвечает значению параметра большему, чем значение параметра радиус-вектора точки , т.е. .Точка А с радиус-вектором называется началом кривой, а точка В с радиус-вектором – концом кривой (см. рис.1).
ПРИМЕР 1. Для окружности на плоскости OXY (см. рис. 8) радиус-векторы точек в параметрическом виде можно определить выражением: , . Эта кривая – ориентированная: при возрастании параметра от значения , отвечающего точке A происходит движение соответствующей точки кривой против часовой стрелки до точки B (для которой ). Рис. 8. К примеру 1.
При построении разбиения Т в этом параграфе будем предполагать, что точки разбиения следуют друг за другом. Обозначим через координаты вектора .Пусть на кривой определены три непрерывные функции: , и . Тогда можно считать, что на кривой Г задана вектор-функция Составим три интегральные суммы: a) б) в) (1) Теперь можно дать определение криволинейного интеграла второго рода.
Определение 2. Пусть существуют пределы интегральных сумм (1) при бесконечном увеличении числа точек деления и бесконечном уменьшении длин векторов , причем эти пределы не зависят ни от способа разбиения кривой Г, ни от выбора точек на дугах: а) б) в) (2)
Тогда криволинейным интегралом второго рода, или криволинейный интеграл от векторной функции вдоль ориентированной кривой Г, называется сумма интегралов, определенных формулой (2):
(3) (В левой части равенства (3) под интегралом стоит скалярное произведение вектора на вектор
Определение 3. Если кривая Г замкнута, то криволинейный интеграл, определяемый формулой (3), называется циркуляцией вектора по контуру Г. Для циркуляции обычно используется обозначение Как и в случае криволинейных интегралов первого рода, верна теорема:
Теорема 1. Если Г – кусочно-гладкая кривая и вектор имеет непрерывные на Г компоненты , и , то криволинейные интегралы (2) и (3) существуют и определены однозначно. Используя формулу для дифференцирования сложной функции получаем еще одно утверждение:
Теорема 2. Если кривая Г задается векторным уравнением (1)п. 1.1, то интеграл (3) вычисляется по формуле: Аналогичные формулы справедливы для каждого из интегралов (2).
Замечание. Криволинейный интеграл второго рода, в отличие от криволинейного интеграла первого рода, зависит от ориентации кривой.
При изменении ориентации (заданного направления движения по кривой) интегралы (2) – (4) меняют знак. Это связано с тем, что в определении криволинейного интеграла второго рода в интегральных суммах (1) значения координат Δ xk, Δ yk,Δ zk меняютзнак при изменении направления векторов на противоположное. В криволинейном интеграле первого рода изменения знака не происходит, поскольку в соответствующей интегральной сумме (2) из п. 1.1 величины Δ sk – длины дуг разбиения, которые не изменяются при изменении направления обхода кривой.
ПРИМЕР 2. Найти циркуляцию вектора вдоль контура в направлении возрастания параметра t (см. рис. 9).
Рис. 9. К примеру 2.
Заметим сначала, что для точек, лежащих на контуре Г справедливы соотношения: и , т.е. кривая Г есть замкнутая линия пересечения цилиндра с плоскостью . Если начать движение по кривой Г от точки A (2, 0, – 1) в которой значение параметра равно 0, то при изменении параметра до значения 2π, точка кривой вернется в исходную точку A. Используя теорему 2, можно записать:
ПРИМЕР 3. Найти модуль циркуляции вектора вдоль контура (см. рис. 10). Рис. 10. К примеру 3.
Для точек , лежащих на контуре Г, можно записать: откуда, учитывая условие , получаем . Поскольку для точек кривой Г выполнено соотношение , на ней можно ввести параметризацию: .
Поскольку в примере требуется найти модуль циркуляции, то направление обхода кривой не имеет значения (при его изменении на противоположный меняется знак всего криволинейного интеграла второго рода, а значит и циркуляции). Примем, что движение по кривой происходит в сторону увеличения параметра . Применяя теорему 2, получим: откуда модуль циркуляции равен
Замечание. Все определения и утверждения, сформулированные выше для пространственных кривых, справедливы и в случае плоских кривых. В соответствующих формулах нужно лишь убрать третью координату .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |