АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Основные свойства двойного интеграла

Читайте также:
  1. I. ОСНОВНЫЕ ФАКТОРЫ
  2. I. Типичные договоры, основные обязанности и их классификация
  3. II. Основные моменты содержания обязательства как правоотношения
  4. II. Основные направления работы с персоналом
  5. II. Основные принципы и правила служебного поведения государственных (муниципальных) служащих
  6. II. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КОНЦЕПЦИИ
  7. II. Основные цели и задачи Программы, срок и этапы ее реализации, целевые индикаторы и показатели
  8. III. Основные мероприятия, предусмотренные Программой
  9. III. Основные требования, предъявляемые к документам
  10. Ms dos, его основные условия.
  11. V1: Основные аспекты организации коммерческой деятельности и этапы ее развития
  12. А. Основные положения

Геометрический смысл двойного интеграла

1) Если функция непрерывна в области D R ² и f (x;y) ≥ 0, то двойной интеграл от этой функции по области D равен объёму цилиндроида, у которого нижнее основание – область , верхнее – часть поверхности и боковая поверхность параллельна 0Z, т.е. 2) Если для любых , то двойной интеграл от z = 1 по области D равен площади областиD: .

Геометрическая задача, приводящая к понятию двойного интеграла

Пусть на замкнутой области D R ² задана непрерывная функция для . В системе координат 0XYZ функция задаёт некоторую поверхность . Из каждой граничной точки области D восстанавливаем перпендикуляры к плоскости 0XY до пересечения с поверхностью . При этом в пространстве R ³ получаем объёмное цилиндрическое тело, у которого нижним основанием является область D, верхним – часть поверхности и боковая поверхность параллельна оси 0Z. Такое тело будем называть цилиндроидом.

Ставим задачу: вычислить объём V этого цилиндроида (рис. 1). С этой целью проведём следующие операции: а) область D разделим на n частей (произвольно) – б) обозначим площади каждой из этих частей в) на каждой из частей разбиения области D выберем точку и строим ряд цилиндрических «столбиков», имеющих основания и высоты ; г) вычислим объёмы полученных «столбиков»: д) в результате построено тело, состоящее из n «столбиков», приближенно равное объёму цилиндроида, который равен: е) для повышения точности равенства: будем уменьшать размеры частей разбиения области D, увеличивая их количество, т.е. n → ∞, но при условии стремления к нулю max , стягивающегося в точку. Тогда можно записать точное равенство: ж) этот предел и даёт объём V заданного цилиндроида.

Основные свойства двойного интеграла

1) Пусть функция непрерывна в области D R ², причём , тогда Это свойство, как и последующие, можно доказать путём рассмотрения интегральных сумм и последующего перехода к пределам.2) Постоянный множитель k выносится за знак двойного интеграла: 3) Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме двойных интегралов от этих функций: 4) Если для двух непрерывных в области D функций f (x;y) и g (x;y) выполняется неравенство f (x;y) ≤ g (x;y), то .


1 | 2 | 3 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.002 сек.)