Двойной интеграл в полярной системе координат

Полярная система координат считается заданной, если заданы: 1) точка 0, называемая полюсом; 2) полуось 0х, называемая полярной осью. На 0х выбрана масштабная единица. Тогда положение точки М в полярной системе координат определяют две величины: – угол наклона вектора к полярной оси 0х и – величина вектора : Если задать декартовую систему координат, связанную с полярной так, чтобы ось 0х совпадала с полярной осью 0х и ось 0у была перпендикулярна к полярной оси 0х, то можно установить связь между координатами точки М в обеих системах координат: или ,где (x;y)– координаты точки М в декартовой системе, – координаты той же точки М в полярной системе. Любую кривую , заданную в декартовой системе координат, можно задать в полярной системе уравнением , которое можно получить непосредственно исходя из геометрических свойств этой кривой либо с помощью формул перехода от декартовых координат к полярным.Элементарной областью D в полярной системе координат считают сектор, ограниченный двумя лучами, исходящими из полюса под углами и к оси 0x ( и ), и кривой (рис.6).

Определение. Область D в полярной системе координат называется правильной, если любой луч, исходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области D, пересекает границу области D только в двух точках.

Замечание 1. Если полюс 0 лежит вне области D, то правильную область D в полярной системе координат можно описать как область, ограниченную двумя лучами и и кривыми и при . Замечание 2. Если полюс 0 лежит внутри области D, то правильную область D в полярной системе координат можно описать неравенствами:

Переход от декартовых координат к полярным в двойном интеграле проводится для упрощения его вычисления в случае, если: 1) функция зависит от или от , так как и ; 2) область D ограничена кривыми, уравнения которых легко преобразуются в полярные координаты.

Поиск по сайту: