Розрахунок майбутньої вартості авансового ануїтету, гр. од

Таблиця 4.2.

Розрахунок майбутньої вартості поточного вкладу за умови нарахування складних процентів, гр. од.

та n (FVIF_i,n), тобтовизначена майбутнявартість однієї грошової одиниці, залишеної на рахунку на n періодів під і –процентну ставку.

Якщо

FVIF_i,n = (1 + i)ⁿ,

то формула (4.3) матиме вигляд:

FV _n = PV ^. (FVIF_i,n), (4.8)

де: FVIF_i,n – абсолютне значення ставки нарощення;

i – процентна ставка (виражена десятковим дробом);

n – кількість інтервалів у плановому періоді.

У нашому випадку в таблиці А-1 для FVIF для п’яти років із 5-процентною ставкою знаходимо цифру, яка стоїть на перехрещенні стовпчика для періоду 5 і стовпчика для 5%. Бачимо, що FVIF = 1,2763.

Звідси FV _n = PV ^. (FVIF_i,n) = 100 гр. од. ^. (1,2763) = 127,63 гр. од.

За наявності фінансового калькулятора поступово вводимо значення N, I, PV, N. Натиснувши кнопку FV, отримаємо відповідь (при введені даних прикладу 4.2 отримаємо FV = 127,63).

Приклад. 4.3. Вклади в однаковій сумі 100 гр. од. здійснюються на депозитний рахунок наприкінці кожного року під 5% річних протягом п’яти років. Скільки грошей буде на рахунку наприкінці п’ятого року?

Арифметичне рішення прикладу зведемо в табл. 4.3.

Ураховуючи, що умови ануїтету передбачають рівність та рівномірність окремих грошових потоків РМТ (у нашому випадку сума вкладів), фінансово-математична модель оцінки майбутньої вартості ануїтету може бути відображена у такий спосіб:

(1 + i)ⁿ - 1

FVА _n = PМТ ^. --------------, (4.9)

i

де: FVА _n – майбутня вартість ануїтету;

PМТ – абсолютна величина періодичних рівновеликих виплат (ануїтетів);

n – кількість інтервалів у плановому періоді;

i – процентна ставка (виражена десятковим дробом).

Таблиця 4.3.

Розрахунок майбутньої вартості звичайного ануїтету, гр. од.

Визначення майбутньої вартості ануїтетів за допомогою таблиць передбачає використання фактору процента майбутньої вартості ануїтетів (FVIFА_i,n) за n періодів з i –процентною ставкою.

(1 + i)ⁿ - 1

FVIFА_i,n = --------------.

i

Значення FVIFА в таблиці А-2 вже підраховано для різних комбінацій i та n. Для того, щоб обчислити майбутню вартість ануїтетів за допомогою таблиць, використовується формула:

FVА _n = PМТ ^. (FVIFА_i,n). (4.10)

У таблиці А-2 на перехрещенні 5 років та 5% знаходимо значення FVIFА = 5,5256.

При використанні формули (4,10) визначимо майбутню вартість ануїтетів у 100 гр. од. для 5 років при 5% ставці.

100 грн. × (5,5256) = 552,56 гр. од.

Слід звернути увагу, що формула (4.10) стосується звичайного (відстроченого) ануїтету (ренти).

Проте якщо має місце авансовий ануїтет (рента), порядок кількісної оцінки майбутньої вартості грошового потоку дещо змінюється

Приклад. 4.4. Вклади в однаковій сумі 100 гр. од. здійснюються на депозитний рахунок на початку кожного року під 5% річних протягом п’яти років. Скільки грошей буде на рахунку наприкінці п’ятого року?

Арифметичний розв’язок задачі зведемо в таблицю (табл. 4.4).

Таблиця 4.4.

Розрахунок майбутньої вартості авансового ануїтету, гр. од.

Необхідність коригування фінансово-математичної моделі оцінки відстроченої ренти обумовлена відмінностями у порядку руху грошових коштів, що наочно можна побачити з таблиці. Так, для звичайного ануїтету грошові потоки виникають по закінченні першого інтервалу періоду, який аналізується (саме тому зви чайний ануїтет часто називають відстроченим, постнумерандо).

Для авансового ануїтету характерним є рух грошових коштів уже починаючи з першого інтервалу планового періоду. Згадані відмінності обумовлюють різницю між відстроченим та авансовим ануїтетом на один інтервал, що і закладено у фінансово-математичну модель оцінки майбутньої вартості авансового ануїтету.

Для розрахунку майбутньої вартості авансового ануїтету застосовується формула:

(1 + i)ⁿ – 1 (1 + i)ⁿ - 1

FVА _{n(аванс)} = PМТ ^. --------------. (1 + i) = PМТ ^. [------------- - 1]. (4.11)

І i

Використовуючи наведену формулу, розрахунок майбутньої вартості авансового ануїтету в наведеному прикладі 4.4 можна записати у такий спосіб:

FVА _{n(аванс)} = 552,56 ^. (1 + 0,05) = 552,56 ^. 1,05 = 580,19 гр. од.

Нарахування процентів за авансового ануїтету здійснюється раніше, тому більше наробляється процентів (майбутня вартість авансових ануїтетів більша – 580,19 гр. од. проти 552,56 гр. од. за звичайного ануїтету).

Приклад 4.5. підприємцеві запропонували варіанти вкладання грошей у розмірі 500 гр. од. під 5% (за умови нарахування складних процентів):

1) одноразово на п’ять років;

2) поступово рівними частками протягом п’яти років з нарахуванням процентів у кінці кожного року (постнумерандо);

3) поступово рівними частками протягом п’яти років з нарахуванням процентів на початку кожного року (пренумерандо).

Розв’язок.

1) Ідеться про просте нарощення вкладу в розмірі 500 гр. од. або про просте компаундування.

Застосовуємо формулу (4.8) та значення таблиці А-1:

FV = 500 гр. од. ^. FVIF_{5 %,5} = 500 гр. од. ^. 1,2763 = 638,15 гр. од.

Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

638,15 – 500 = 138,15 гр. од.

2) Ідеться про компаундування звичайних ануїтетів (ренти) у розмірі
100 гр. од. щорічно протягом п’яти років. Розв’язок прикладу наведено в табл. 4.3.

Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

552,56 – 500 = 52,56 гр. од.

3) Мова йде про компаундування авансових ануїтетів (ренти) у розмірі
100 гр. од. щорічно протягом п’ят років. Розв’язок прикладу наведено в табл. 4.4.

Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

580,19 – 500 = 80,19 гр. од.

Висновки

Наведені розрахунки свідчать, що п’ять вкладів по 100 гр. од. кожного року протягом п’яти років є менш привабливим для підприємця проектом з погляду прибутковості інвестицій.

За одноразового вкладення 500 гр. од. на п’ять років зиск становить
138,15 гр. од. проти вкладання 100 гр. од. щорічно протягом п’яти років та отримання прибутку на суму 89,19 гр. од. за нарахування процентів пренумерандо або отримання прибутку на суму 52,56 гр. од. за умови нарахування процентів постнумерандо.

Отже, ефект від вкладення грошових коштів одноразово набагато більший, але і ризик з часом зростає, оскільки ці гроші ”лежать” на депозитному рахунку всі п’ять років. Це приклад ще раз підтверджує концепцію, що чим вищий ризик, тим більша компенсація за цей ризик, і сьогодні гроші дорожні, ніж завтра.

Підприємець у нашому прикладі вибере той варіант вкладення грошей, який, на його думку, буде не тільки більш привабливим з погляду розрахунків, а й враховуватиме суб’єктивні чинники: загальну ризикованість операції; репутацію банку, що відкриває депозитний рахунок; можливості швидкого та ефективного реінвестування отриманих грошей тощо.

Приклад 4.6. Яку суму грошей повинен покласти и підприємець у банк на депозитний рахунок у поточний момент часу, якщо за процентної ставки 5% за умови нарахування складного процента через п’ять років він планує отримати 127,63 гр. од.?

Розв’язок.

Як бачимо, приклад 4.6 і приклад 4.2 мають дещо спільне: процентна ставка і термін, на який кладуться гроші на депозит, - однакові. Проте в прикладі 4.2 визначена сума, яку підприємець має покласти и на депозит, є заданою, а в прикладі 4.6 ми повинні визначити цю суму. У прикладі 4,6 задається очікувана сума через п’ять років, а в прикладі 4.2, навпаки, саме ця сума невідома. Отже, приклад 4.6 є оберненим до прикладу 4.2.

Застосовуючи формули (4.13), (4.14) та дані таблиці А-3, визначимо суму, яку необхідно покласти на депозит сьогодні:

РV = 127,0 ------------ = 127,0 ^. 0,7835 = 100 гр. од.

(1 + 0,05)⁵

Дисконтування грошових потоків застосовується також за необхідності оцінювання поточної вартості цінних паперів, об’єктів нерухомості, що плануються до продажу у майбутньому.

Приклад 4.7. Підприємець має цінний папір, який надає йому право на отримання після двох років 1000 гр. од. Річна вартість грошей на ринку капіталу сьогодні становить 16%. Скільки коштує цей цінний папір сьогодні?

Розв’язок.

Застосовуючи формули (4.13), (4.14) та дані таблиці А-3, маємо вартість цінного папера на сьогодні:

РV = ------------ = 1000 ^. 0,7432 = 1743,2 гр. од.

(1 + 0,16)²

Різноплановість руху грошових коштів у результаті підприємницької діяльності створює ситуацію, коли застосування простого дисконтування для оцінки приведеної вартості майбутніх грошових потоків є недостатнім. Передусім це стосується оцінки грошових потоків, які виникають протягом усього періоду із певною періодичністю, тобто ануїтетів (ренти).

Приклад 4.8. Яку суму підприємець має покласти на депозит сьогодні під 10% річних, щоб протягом п’яти років щорічно знімати з рахунка по 300 гр. од.?

Розв’язок.

Ідеться про дисконтування ануїтетів на суму 300 гр. од. протягом п’яти років. Скористаємося формулою визначення теперішньої вартості ануїтетів (4.15), (4.16) та даними таблиці А-4.

PVА_n = PМТ ^. FVIFА_10%, = 300 гр. од. ^. 3,7908 = 1137 гр. од.

За результатами застосування табличного способу вирішення задачі маємо, що вклад у розмірі 1137 гр. од. дає змогу інвестору протягом п’яти років у кінці кожного року знімати з рахунка по 300 гр. од. за умови нарахування банком складного процента у розмірі 10% річних. Перевіримо правильність результату арифметично, звівши розрахунки у табл. 4.5.

Таблиця 4.5

Поиск по сайту: