Задачи оптимизации в бесконечномерных пространствах

Вопросы для подготовки к экзамену

По методам оптимизации (прикладное отделение, 4 курс)

Задачи оптимизации в конечномерном пространстве.

1. Производная по направлению, градиент, дифференцируемые функции нескольких переменных, их свойства. Теорема Ферма (о необходимом условии безусловного экстремума).

2. Задача на условный экстремум. Гладкие поверхности и касательные плоскости. Метод множителей Лагранжа: необходимое условие экстремума 1-го порядка.

3. Необходимое условие 2-го порядка и достаточные условия экстремума в задаче на условный экстремум.

4. Задача математического программирования с ограничениями типа неравенств. Активные и пассивные ограничения. Прямое необходимое условие экстремума.

5. Конусы. Теорема об отделимости для выпуклых конусов. Лемма о конической оболочке конечного набора векторов.

6. Лемма Фаркаша. Условия несовместности системы линейных неравенств.

7. Необходимое условие 1-го порядка в задаче математического программирования с ограничениями типа неравенств (метод множителей Лагранжа).

8. Прямое необходимое условие экстремума в задаче математического программирования с ограничениями типа неравенств и равенств.

9. Задача математического программирования с ограничениями типа неравенств и равенств. Прямое необходимое условие 1-го порядка и метод множителей Лагранжа.

10. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. Условие Слейтера.

11. Выпуклые функции и их свойства.

Задачи оптимизации в бесконечномерных пространствах.

12. Банаховы пространства, примеры: пространства ℓ_p, L_p[a. b], 1 ≤ p ≤ ∞, C[a, b]. Линейные ограниченные функционалы, общий вид линейных функционалов в этих пространствах. Гильбертовы пространства. Рефлексивные пространства, примеры.

13. Полунепрерывные и слабополунепрерывные функционалы, компактные и слабокомпактные множества, их свойства.

14. Теорема Вейерштрасса и ее обобщения. Примеры.

15. Теоремы о единственности экстремума.

16. Производная по направлению, производная Гато, производная Фреше для функционалов и операторов: определения и свойства.

17. Вторая производная Фреше для функционалов. Условия 1-го и 2-го порядка в задачах на безусловный экстремум.

18. Конус убывания функционала. Конус возможных направлений. Касательный конус. Определения и простейшие свойства. Примеры.

19. Прямое необходимое условие минимума в задаче математического программирования в бесконечномерном пространстве.

20. Сопряженные конусы, их свойства.

21. Теорема Крейна о продолжении функционала, положительного на конусе.

22. Теорема Дубовицкого-Милютина о конусе, сопряженном к пересечению конусов.

23. Теорема Дубовицкого-Милютина о пустом пересечении конусов.

24. Теорема Хана-Банаха в линейном пространстве. Теоремы об отделимости точки от выпуклого множества и об отделимости выпуклых множеств в банаховом пространстве.

25. Теорема Дубовицкого-Милютина о (двойственном) необходимом условии минимума.

26. Нахождение конуса убывания для функционала, дифференцируемого по Фреше.

27. Нахождение конуса возможных направлений для множества, которе задается функционалом, дифференцируемым по Фреше.

28. Нахождение касательного конуса к множеству, которое задается операторным равенством, и к множеству, которое задается несколькими функциональными равенствами.

29. Нахождение сопряжённых конусов к конусу, который задаётся линейным неравенством, и к конусу, который задаётся несколькими линейными равенствами.

30. Необходимое условие минимума 1-го порядка для гладкой задачи математического программирования.

Поиск по сайту: