Обнаружение автокорреляции в остатках

1. Графический метод – при использовании этого метода строится график: ε_t есть функция от ε_t–1. Если в графике прослеживается отчетливая положительная или отрицательная тенденция, то, скорее всего, имеет место соответствующая автокорреляция в остатках.

2. Метод рядов

В моменты времени определяются знаки отклонений, например:

– для 20-ти наблюдений.

Рядом называют непрерывную последовательность одинаковых знаков (ряд ограничен скобками, в примере приведено 5 рядов). Количество знаков называют длиной ряда. Если рядов мало по сравнению с числом наблюдений, то вполне вероятна положительная автокорреляция, если рядов много, – то отрицательная.

Для более детального анализа используется следующая процедура:

Пусть - число знаков «+»,

- число знаков «–»,

- количество рядов.

При достаточном количестве наблюдений и при отсутствии автокорреляции в остатках случайная величина имеет асимптотически нормальное распределение со следующими параметрами:

Тогда, если k лежит внутри интервала

то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется; если лежит левее данного интервала, то есть положительная автокорреляция, а если правее – то отрицательная автокорреляция. Здесь γ – уровень значимости гипотезы об отсутствии автокорреляции. Для небольших и существует таблица Сведа–Эйзенхарта, в которой по значениям и находятся и .

Если k ₁ < k < k ₂ , то автокорреляция отсутствует, если k < k₁– есть положительная автокорреляция, если k > k₂ – есть отрицательная автокорреляция.

3. Тест Дарбина-Уотсона (DW). Это – самый популярный тест: ─ критерий Дарбина – Уотсона.

Установим связь между этим критерием и коэффициентом корреляции:

учитывая, что и , получим:

Процедура обнаружения автокорреляции по критерию DW такова:

1. Вычисляется критерий DW, для чего должна быть выполнена регрессия y на x и определены остатки. Затем выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках.

2. По таблице критических значений теста Дарбина–Уотсона для назначенного уровня значимости γ, числа наблюдений n и числа факторов p определяются верхняя du и нижняя dl критические точки

3. Строятся области: I–от 0 до dl; II–от dl до du; III–от du до 4–du; IV– от 4–ul до 4–dl и V–от 4–dl до 4.

Это поясняется табл. 9.1.

таблица 9.1

При использовании критерия следует учитывать следующие ограничения:

а) он применим лишь для модели с ненулевым свободным членом,

б) остатки должны описываться авторегрессионной моделью первого порядка

в) временной ряд должен иметь одинаковую периодичность, то есть не должно быть пропусков наблюдений,

г) нельзя применять для моделей авторегрессионных относительно объясняемой переменной y_t, так как в этом случае окажется, что регрессор будет коррелировать с остатком. Поясним это:

Для авторегрессионных моделей существует следующая h– статистика Дарбина:

где - коэффициент авторегрессии, - количество наблюдений, – дисперсия коэффициента c₁ в уравнении авторегрессии y_t = a + bx_t + c₁y_t-1 +…+ ε_t, c₁– коэффициент при в упомянутом уравнении.

Как использовать h– статистику?

Для назначенного уровня значимости γ выдвигают гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, т.е. полагают, что в модели AR(1) остатков и статистика h имеет стандартное нормальное распределение: .

По таблице функции Лапласа определяют критическую точку такую, что . Если , то отклоняется. В противном случае не отклоняется и автокорреляция не признается.

Поиск по сайту: