Векторы и операции над ними

Вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно самому себе. Векторы могут обозначается несколькими способами. Например, либо a, или , где точка означает начало вектора, а точка – конец вектора.

Длиной вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор. Длина вектора обозначается .

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором. Нуль-вектор обозначается .

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

Пусть и – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку и построим вектор . От точки отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : . (см. рис. 1) Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Также сумму двух векторов можно построить по правилу параллелограмма. Для этого берут произвольную точку и откладывают от нее два вектора и . Далее на этих векторах достраивают параллелограмм . Диагональ является суммой векторов и .

Разностью двух векторов и называется вектор . (см. рис. 2)

Введем понятие координат вектора. Для этого совместим начало вектора с началом координат. Тогда координатами вектора называются координаты его конечной точки.

Пусть точка имеет координаты , а точка – . Тогда координаты вектора .

Суммой векторов и является вектор .

Разностью векторов и является вектор .

Произведением вектора на число называется вектор .

Длина вектора равна .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где – угол между векторами и .

Если вектора и заданы с помощью координат, то скалярное произведение векторов равно: .

Заметим, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

Угол между векторами и вычисляется по формуле:

.

Пример. Даны два вектора и . Найти угол между этими векторами.

Решение. Вычислим косинус угла между этими векторами:

. Следовательно, .

Ответ: .

Векторное произведение (другое обозначение ) двух векторов и есть третий вектор , модуль которого (т. е. равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ), а направление перпендикулярно к обоим векторам и (т. е. плоскости упомянутого параллелограмма) и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его повороте от к на угол, меньший (рис 4.) Из этого определения векторного произведения следует, что векторы , и образуют правую систему.

Если векторы и коллинеарны (), то =0.

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Базисные единичные векторы декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют следующим соотношениям:

; ; ; .

Если векторы и заданы своими декартовыми координатами: , , то их векторное произведение

.

Смешанным произведением векторовназывается произведение , результатом которого является скаляр (число). Для компланарных векторов их смешанное произведение . Если векторы , и образуют правую тройку, то , если – левую, то .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда , построенного на векторах , и , взятому со знаком «+», если векторы , и образуют правую тройку, и со знаком «–», если – левую:

.

Если векторы , и заданы своими декартовыми координатами: , , , то их смешанное произведение

.

Пример. Даны координаты вершин треугольника: , , . Найти площадь .

Решение. Направим из вершины треугольника векторы в вершины и (рис. 5.). Учитывая, что площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, площадь которого, в свою очередь, можно выразить через векторное произведение, будем иметь . Находим координаты векторов: , . Находим векторное произведение = .

Таким образом, (кв. ед.).

Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Решение. Вычисляем смешанное произведение данных векторов: =

. Объем параллелепипеда .

Поиск по сайту: