Уравнение прямой на плоскости. Существует несколько различных способов задания прямой на плоскости

Существует несколько различных способов задания прямой на плоскости.

1) уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

,

где – угловой коэффициент прямой,

– угол, образуемый прямой с осью . (см. рис. 6)

Пусть прямая проходит через точку и образует с осью угол , тогда уравнение прямой можно представить в виде:

. (4)

Пример. Составить уравнение прямой проходящей через точку и образующей с осью угол 135°.

Решение. Определим угловой коэффициент прямой

.

Подставим данные значения в формулу (4): .

Упростив, получим искомое уравнение: .

Ответ: .

2) уравнение прямой, проходящей через две различные точки и имеет вид:

. (5)

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. Подставим координаты точек в формулу (5):

.

Упростив, получим искомое уравнение:

.

Ответ: .

3) уравнение прямой в отрезках имеет вид

(6)

где и – отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях. (см. рис. 7)

Пример. Составить уравнение прямой, если известно, что она отсекает по оси отрезок равный 3, а по оси отрезок равный 5.

Решение. По условию задачи .

Подставив значения и в формулу (3) получим искомое уравнение:

Ответ:

4) общее уравнение прямой имеет вид

, (7)

где и не равны нулю одновременно.

Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный ей.

Если прямая задана в виде (7), то нормальный вектор этой прямой имеет координаты

Всякий ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Если прямая задана в виде (7), то координаты направляющего вектора будут

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Решение. Поскольку вектор является нормальным вектором прямой, то , . Подставим эти значения в уравнение (7):

Теперь надо определить значение . Так как точка принадлежит данной прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой:

Отсюда

Подставив значение коэффициента , получим искомое уравнение:

Ответ:

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору

Решение. Поскольку вектор является направляющим вектором прямой, то Подставим эти значения в уравнение (7):

Определим значение коэффициента . Так как, точка принадлежит данной прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой:

Отсюда Подставив значение коэффициента , получим искомое уравнение:

Ответ:

Поиск по сайту: