Тема № 13.1 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

1. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля

2. Уравнение электромагнитной волны

1. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля

Ток смещения. Ранее мы видели, что всякое переменное магнитное поле вызывает вихревое электрическое поле. Максвелл пришел к заключению, что должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля вызывает появление вихревого магнитного поля. Это утверждение выражает важнейшее свойство электромагнитного поля и является вторым основным положением теории Максвелла.

Так как магнитное поле есть основной, обязательный признак всякого тока, то Максвелл назвал переменное электрическое поле током смещения, в отличие от тока проводимости, обусловленного движением заряженных частиц (электронов, ионов). Понятие тока смещения можно пояснить при помощи опыта (рис. 4.1). Контур содержит металлический проводник, конденсатор, батарею и переключатель. Для суждения о токе в контуре в него включена небольшая лампочка накаливания, играющая роль демонстрационного амперметра.

Здесь мы имеем разомкнутый контур, который разрывается конденсатором. Известно, что через такой разомкнутый контур постоянный ток не проходит и при длительном включении батареи лампочка не обнаруживает никакого накала.

Иное будет в первые моменты после включения батареи. Конденсатор будет заряжаться, и в металлическом проводе возникнет кратковременный зарядный ток. Если после окончания зарядки переключить батарею при помощи переключателя, то конденсатор перезарядится, и в процессе перезарядки в проводе опять возникнет ток, но теперь обратного направления. При каждом переключении батареи в проводе будет возникать импульс тока, и лампочка будет давать кратковременную вспышку.

Если концы провода, присоединенные к переключателю, включить в осветительную цепь переменного тока, то перезарядки конденсатора будут следовать непрерывно друг за другом с частотой 100 раз в секунду, и в контуре длительно будет существовать переменный ток. В этом случае отдельные вспышки лампочки уже не будут заметны, и она будет накаливаться равномерно.

Мы видим, что, в отличие от постоянного тока, изменяющиеся или переменные токи, могут существовать и в разомкнутых контурах. При этом всякий раз, когда в разомкнутом контуре имеется ток, между его концами (обкладками конденсатора) имеется изменяющееся во времени электрическое поле или ток смещения. Таким образом, токи проводимости в металлическом проводнике замыкаются токами смещения в диэлектрике.

Согласно Максвеллу электрическое поле в конденсаторе в любой момент времени создает такое же магнитное поле, как если бы между обкладками существовал ток проводимости, имеющий силу, равную силе тока в металлических проводах. Или, иными словами, магнитное поле разомкнутого контура оказывается таким же, как если бы контур был замкнут.

Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем. Поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора связана с напряженностью поля в конденсаторе .

Введем новое понятие электрического смещения или электрической индукции. Для вакуума электрическое смещение по определению

, (4.1)

и, таким образом, . Полный заряд на каждой из обкладок

,

где - площадь обкладок. Если за время заряд конденсатора изменяется на , то сила тока в проводе

однозначно связана с быстротой изменения индукции электрического поля. Отсюда следует, что меняющееся поле конденсатора вызывает такое же магнитное поле, как ток, имеющий силу или плотность

. (4.2)

Эта величина получила название плотности тока смещения.

Пользуясь этим понятием, второе положение Максвелла можно выразить в следующей количественной форме: переменное во времени электрическое поле вызывает такое же магнитное поле, как и ток проводимости с плотностью , определяемой формулой (4.2).

В общем случае электрическое поле может быть неоднородным и может зависеть не только от времени, но и от координат. В этом случае выражение для плотности тока смещения будет

, (4.3)

где знак частной производной указывает на то, магнитное поле зависит от быстроты изменения индукции во времени в каждой точке поля.

Замечание. Ток смещения определяется производной вектора индукции , но не самим этим вектором.

Если в каком-либо проводнике имеется переменный ток, то внутри проводника существует переменное электрическое поле. Поэтому внутри проводника имеются и ток проводимости, и ток смещения, а магнитное поле проводника определяется их суммой, т. е. полным током. Плотность полного тока

. (4.4)

Оба слагаемых в формуле (4.4) могут иметь и одинаковые знаки, и противоположные. Поэтому полный ток может быть как больше, так и меньше тока проводимости и в частном случае может обращаться в нуль.

Окончательно, в общем случае меняющихся токов магнитное поле определяется не током проводимости, а полным током. Если мы имеем разомкнутый контур, то на концах проводника обрывается лишь ток проводимости. В диэлектрике же между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости. Поэтому, если под электрическим током понимать полный ток, определяемый формулой (4.4), то окажется, что в природе все электрические токи замкнуты. Этот важный вывод также был получен Максвеллом.

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме

Полученный в предыдущем параграфе вывод о магнитном поле тока смещения можно выразить в виде уравнения. Для этого рассмотрим проводник, в котором имеется изменяющийся ток, и выделим внутри него произвольную площадку , ограниченную контуром (рис. 4.2). Применим к этому контуру теорему о магнитном напряжении, учитывая, однако, что в общем случае изменяющегося тока магнитное поле определяется полным током. Это дает:

,

где - сила полного тока через площадку . Теперь вычислим . Из (4.4) имеем:

.

Первое слагаемое есть сила тока проводимости . Во втором слагаемом можно изменить последовательность интегрирования и дифференцирования, что дает

.

Поэтому

. (4.5)

(4.5) является вторым основным уравнением теории Максвелла и выражает в математической форме высказанное им положение о магнитном поле тока смещения.

Вспомним теперь основной закон электромагнитной индукции:

,

где - поток магнитной индукции через площадку , ограниченную контуром , определяемый формулой:

.

С другой стороны ЭДС, действующая в каком-либо контуре , равна

,

где - напряженность поля сторонних сил. В данном случае есть напряженность вихревого электрического поля. Полагая , находим:

(4.6а)

или

. (4.6)

(4.6) или (4.6а) - первое уравнение теории Максвелла.

К уравнениям (4.5) и (4.6) нужно добавить еще два уравнения, выражающие теорему Гаусса для электрического

или

(4.7)

и магнитного полей:

. (4.8)

Уравнение (4.8) отражает тот факт, что силовые линии магнитной индукции замкнуты и для любой замкнутой поверхности число входящих через нее линий индукции равно числу выходящих: полный поток магнитной индукции через замкнутую поверхность всегда равен нулю.

К основным максвелловым уравнениям необходимо причислить и соотношения, связывающие между собой значения основных векторов электромагнитного поля:

(4.9)

где и - диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества. Сила тока проводимости в (4.5) определяется плотностью тока , которая связана с законом Ома в дифференциальной форме:

, (4.10)

где - удельная электропроводность вещества.

Примечание. Величины входят в уравнения Максвелла как материальные постоянные, т. е. как заданные величины, характеризующие свойства среды.

Поиск по сайту: