Классическое определение вероятности

ГЛАВА 12. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

При классическом определении вероятность случайного события определяется равенством , где - число элементарных исходов эксперимента (опыта, испытания), благоприятствующих появлению события ; - общее число равновозможных элементарных исходов эксперимента. Каждый из исходов (далее неделимых и взаимно исключающих друг друга) эксперимента называется его элементарным исходом (элементарным событием) и обозначается . Элементарные исходы называются равновозможными, если в силу условий проведения эксперимента можно считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Множество всех элементарных исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов и обозначается . Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечёт за собой наступление такого события.

Противоположным событию называется событие , состоящее в том, что событие не происходит. Например, противоположным событию, определяемому словами «хотя бы один…» является событие, определяемое словами «ни один…». Если вероятность известна или легко может быть найдена, то вероятность вычисляют по формуле: .

Для вычисления общего числа элементарных исходов и числа элементарных исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, широко используются правила и формулы комбинаторики. Одной из основных задач комбинаторики является подсчёт числа комбинаторных конфигураций (комбинаций элементов), образованных из элементов некоторых конечных множеств в соответствии с заданными правилами. Примерами таких комбинаций являются перестановки, размещения и сочетания.

Пусть имеется групп , содержащих элементов, соответственно. Тогда справедливы следующие правила.

Правило сложения. Если группы не имеют общих элементов, то выбор только одного элемента или из группы , или из ,…, или из можно осуществить способами.

Правило умножения. Выбор упорядоченной совокупности элементов , где (т.е. выбор по одному элементу из каждой группы и расстановку их в определённом порядке) можно осуществить способами.

Сочетаниями из элементов по называются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга только составом элементов. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в одновременном неупорядоченном выборе без возвращения элементов из различных элементов, а их общее число определяется формулой:

, где , .

Размещениями из элементов по называются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядком их следования. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в последовательном выборе без возвращения элементов из различных элементов и расположении их в порядке выбора, а их общее число определяется формулой: .

Перестановками из элементов называются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга только порядком их следования. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в произвольном упорядочивании множества, состоящего из различных элементов, а их общее число определяется формулой .

12.1 В лоторее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 1000 руб., на четыре билета – 500 руб., на десять билетов – 200 руб., на двадцать билетов – 100 руб., на 100 билетов – 50 руб., на 200 билетов – 10 руб., остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по одному билету не менее 100 руб.

12.2 Задумано двузначное число. Найти вероятности того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число;

б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

12.3 Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 35. Найти вероятности того, что номер первого наудачу извлечённого жетона: а) не содержит цифру 2; б) содержит цифру 3; в) является чётным числом; г) является числом, кратным 3 (делится на 3 без остатка).

12.4 Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу, извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три; г) ни одной.

12.5 Монета подброшена 2 раза. Найти вероятности того, что герб выпадет: а) два раза; б) один раз; в) ни одного раза; г) хотя бы один раз.

Поиск по сайту: