Раздел I, темы 1.4 и 1.5

Для подготовки к экзамену по дисциплине «Высшая математика»

(ВШУБ, 5-й семестр)

Раздел I, темы 1.1 и 1.2

Вариант 1

1. На стороне треугольника взята точка так, что . Разложить вектор по векторам и .

2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

3. Найти скалярное произведение векторов и , если , , .

4. Найти базис системы векторов , . Выразить небазисный вектор через базисные.

5. На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние которой до точки N (2; –3) равнялось бы 5.

6. Определить площадь параллелограмма, три вершины которого есть точки А (­–1; 2), В (2; –3) и С (–2; 1).

7. Определить, при каких значениях т и п две прямые тх+ 4 у+n= 0 и х+ту– 1=0 1) параллельны; 2) совпадают; 3) перпендикулярны.

8. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (2; 6), а также уравнения высоты х– 7 у+ 15=0и биссектрисы 7 х+у+ 5=0, проведённых из одной вершины.

9. Через точку М (4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3 кв.ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

Вариант 2

1. На стороне треугольника взята точка так, что . Разложить вектор по векторам и .

2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

3. Найти скалярное произведение векторов и , если , , .

4. Найти базис системы векторов , . Выразить небазисный вектор через базисные.

5. Площадь треугольника S =4 кв.ед., две его вершины есть точки A (2; 1) и B (3; –2), а третья вершина С лежит на оси Ох, Определить координаты вершины С.

6. Определить, при каких значениях а и b две прямые аx–y –1=0 и3 x– 2 y–b= 0

1) имеют одну общую точку; 2) параллельны; 3) совпадают.

7. Определить угол , образованный двумя прямыми:

х + у -2=0 и х -3 у +3=0.

8. На оси ординат найти такую точку Р,чтобы разность расстояний её до точек М (- 3; 2) и N (2; 5) была наибольшей.

9. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С (4; 3), а также уравнения биссектрисы x+ 2 у– 5=0 и медианы 4 x+ 13 y –10=0,проведённых из одной вершины.

Вариант 3

1. На стороне треугольника взята точка так, что . Разложить вектор по векторам и .

2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

3. Найти скалярное произведение векторов и , если , , .

4. Найти базис системы векторов , . Выразить небазисный вектор через базисные.

5. Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами M ₁(1; 1), М ₂(0;2) и M ₃(2; –1) тупой угол.

6. Составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посредине между ними: 3 х– 2 у– 1=0 и 3 х– 2 у– 13=0.

7. Определить, при каком значении т две прямые mx+ (2 m+ 3) y+m +6=0 и (2 m +1) x +(m— 1) y + m– 2=0 пересекаются в точке, лежащей на оси ординат.

8. Даны последовательные вершины выпуклого четырёхугольника A (–2; 0), B (1; 3), С (7; –1) и D (3; – 6). Определить точку пересечения его диагоналей.

9. Даны две точки: Р (2;3) и Q (–1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р параллельно отрезку PQ.

Вариант 4

1. На стороне треугольника взята точка так, что . Разложить вектор по векторам и .

2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

3. Найти скалярное произведение векторов и , если , , .

4. Найти базис системы векторов , . Выразить небазисный вектор через базисные.

5. Площадь параллелограмма S=12 кв. ед.; две его вершины находятся в точках А (–1; 3) и В (–2; 4). Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс.

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M ₁(2; - 3) параллельно прямой: 3 х– 7 у+ 3=0.

7. Установить, пересекаются ли в одной точке три прямые 3 x–y+ 3=0, 5 x+ 3 y- 7=0, х- 2 у- 4=0;

8. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина её отрезка, заключённого между прямыми 2 x–y+ 5=0 и2 х–у+ 10=0,равна .

9. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В (–4; –5) и уравнения двух высот 5 х+ 3 у– 4=0 и 3 x+ 8 y+ 13=0.

Вариант 5

1. На стороне треугольника взята точка так, что . Разложить вектор по векторам и .

2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

3. Найти скалярное произведение векторов и , если , , .

4. Найти базис системы векторов , . Выразить небазисный вектор через базисные.

5. Даны две противоположные вершины квадрата Р (3;5) и Q (l; –3). Вычислить его площадь.

6. Определить, при каких значениях т и п прямая

(т+ 2 п– 3) х+ (2 т–n+ 1) y+ 6 m +9=0 параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный –3 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.

7. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P (8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.

8. На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы сумма её расстояний до точек М (1; 2) и N (3; 4) была наименьшей.

9. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (2; –7), а также уравнения высоты 3 х+у+ 11=0 и медианы x +2 y +7=0, проведённых из различных вершин.

Вариант 6

1. На стороне треугольника взята точка так, что . Разложить вектор по векторам и .

б) проекцию вектора на ось, определяемую вектором .

2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

3. Найти скалярное произведение векторов и , если , , .

4. Найти базис системы векторов , . Выразить небазисный вектор через базисные.

5. Длина отрезка MN равна 13; его начало в точке М (3; –2), проекция на ось абсцисс равна –12. Найти координаты конца этого отрезка при условии, что он образует с осью ординат: а) острый угол, б) тупой угол.

6. Дана прямая x +2 у +3=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M ₀(1; –1) под углом 30° к данной прямой.

7. Даны две вершины треугольника М₁ (- 10; 2) и М₂ (6; 4); его высоты пересекаются в точке N (5;2). Определить координаты третьей вершины М ₃.

8. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2 х– 3 у +5=0, 3 х +2 у- 7=0 и одна из его вершин A (2; –3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

9. Известны уравнения сторон четырехугольника Найти его площадь.

Вариант 7

1. На стороне треугольника взята точка так, что . Разложить вектор по векторам и .

2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

3. Найти скалярное произведение векторов и , если , , .

4. Найти базис системы векторов , . Выразить небазисный вектор через базисные.

5. Даны две смежные вершины квадрата А (2; –5) и В (–1;3). Вычислить его площадь.

6. Даны вершины треугольника A (1; –1), В (-2; 1) и С (3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A на медиану, проведённую из вершины В.

7. Даны уравнения сторон треугольника 3 х+ 4 у– 1=0, х– 7 у- 17 = 0, 7 x + y +31=0. Доказать, что этот треугольник равнобедренный.

8. Определить угол , образованный двумя прямыми:

х –у -5=0 и (3+ ) х +( – ) у +7=0.

9. Через точки М₁ (- 1; 2) и М ₂(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

Вариант 8

1. На стороне треугольника взята точка так, что . Разложить вектор по векторам и .

2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

3. Найти скалярное произведение векторов и , если , , .

4. Найти базис системы векторов , . Выразить небазисный вектор через базисные.

5. Даны три вершины А (2; 3), В (4; –1) и С (0; 5) паралле­лограмма ABCD. Найти его четвёртую вершину D.

6. Даны последовательные вершины выпуклого четырёхугольника A (–3; –1), B (3; 9), С (7; 6) и D (–2; – 6). Определить точку пересечения его диагоналей.

7. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой 3 х– 4 у– 12=0 от координатного угла.

8. Даны вершины треугольника М ₁(2;1), M ₂(–1; –1) и M ₃(3; 2). Составить уравнения его высот.

9. Определить, при каких значениях а и b две прямые аx– 2 y– 1=0и6 x– 4 y–b= 0 1) имеют одну общую точку; 2) параллельны; 3) совпадают.

Вариант 9

1. На стороне треугольника взята точка так, что . Разложить вектор по векторам и .

2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

3. Найти скалярное произведение векторов и , если , , .

4. Найти базис системы векторов , . Выразить небазисный вектор через базисные.

5. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С (4; –1), а также уравнения высоты 2 х– 3 y +12=0 и медианы 2 х+ 3 y =0, проведённых из одной вершины.

6. Точка является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны квадрата.

7. Даны вершины треугольника A (1; –2), B (5; 4) и С (–2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

8. Определить угол , образованный двумя прямыми: 3 х-у+ 5=0, 2 х+у- 7=0.

9. Через точку М (4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3 кв.ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

Вариант 10

1. На стороне треугольника взята точка так, что . Разложить вектор по векторам и .

2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

3. Найти скалярное произведение векторов и , если , , .

4. Найти базис системы векторов , . Выразить небазисный вектор через базисные.

5. Найти проекцию точки Р (–8; 12) на прямую, проходящую через точки A (2; –3) и B (–5; 1).

6. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А (4; –1) и уравнения двух биссектрис x – 1 = 0 и х – у– 1=0.

7. Две смежные вершины квадрата Составить уравнения его сторон.

8. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла и уравнение гипотенузы 3 x – y +2=0.

9. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р (2;3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.

Раздел I, темы 1.4 и 1.5

Поиск по сайту: