АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Погрешность решения и обусловленность системы уравнений

Читайте также:
  1. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  2. I. Формирование системы военной психологии в России.
  3. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  4. II Съезд Советов, его основные решения. Первые шаги новой государственной власти в России (октябрь 1917 - первая половина 1918 гг.)
  5. II. Органы и системы эмбриона: нервная система и сердце
  6. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы
  7. II. Экономические институты и системы
  8. III. Мочевая и половая системы
  9. III. Органы и системы эмбриона: пищеварительная система
  10. IV Структура АИС. Функциональные и обеспечивающие подсистемы
  11. IV. Механизмы и основные меры реализации государственной политики в области развития инновационной системы
  12. IV. Органы и системы эмбриона: дыхательная и др. системы

Рассмотрим влияние погрешности правой части и свойств матрицы системы линейных уравнений на погрешность решения. Пусть правая часть системы задана приближенно, с погрешностью η:

 

A x = b 1, b 1 = b + η.

 

Пусть x 1 решение неточно заданной системы A x = b 1, а x решение точной системы A x = b. Обозначим погрешность решения через r = x 1 – x. Тогда можно записать A x 1= b 1 в виде A (x + r)= b + η, и A r = η.

Определение 3.3. Мерой обусловленности системы называется число

 

(3.29)

 

Мера обусловленности системы равна верхней грани отношения относительной погрешности решения к относительной погрешности правой части. Из формулы (3.29) следует неравенство

 

(3.30)

 

Если мера обусловленности системы принимает большое значение, то это означает, что небольшая погрешность правой части может привести к большой погрешности решения, т.е. полученное приближенное решение окажется непригодным.

Учитывая, что r = A –1η, можно получить формулу вычисления меры обусловленности системы:

(3.31)

 

Определение 3.4. Мерой обусловленности матрицы A называется число

(3.32)

 

Для вычисления меры обусловленности матрицы можно с помощью (3.31) получить формулу

 

(3.33)

 

Учитывая (3.30), можно записать

 

(3.34)

 

Неравенство (3.34) связывает относительные погрешности правой части и решения системы через свойства матрицы системы.

Определение 3.5. Системы уравнений и матрицы называются плохо обусловленными, если их меры обусловленности принимают большие значения, и хорошо обусловленными, если их меры обусловленности принимают малые значения.

Понятно, что при решении хорошо обусловленных систем малые погрешности правой части приводят к малым погрешностям решения, а плохо обусловленные системы уже нельзя решать обычными методами.

Пример 3.7. Для данной системы линейных уравнений исследовать влияние погрешности правой части на погрешность решения.

 

 

Решение. Решение системы x = (0,5; 0,2; –1; 0) T можно найти в программе Mathcad по формуле x = A –1∙ b, где A — матрица коэффициентов, а b — вектор правых частей:

 

 

Если мы изменим правые части на 0,01 (прибавим к каждой координате вектора b число 0,01), то получим приближенное решение x 1 = (0,342; 0,634; –1,9; 0,667) T, которое отличается от точного решения на вектор x 1 – x =
(–0,158; 0,434; –0,9; 0,667) T:

 

 

 

Мы видим, что незначительные погрешности правой части приводят к решению, которое сильно отличается от точного. Это объясняется плохой обусловленностью матрицы системы. Действительно, если мы вычислим число обусловленности матрицы A по формуле (3.33), пользуясь определением нормы (3.19), используя функцию программы Mathcad eigenvals(A T∙ A), получим:

 

 

 

Отсюда получим значение числа обусловленности матрицы A:

 

|| A || = 322,2650,5 = 17,95, || A –1|| = 367200,5 = 191,62, τ = || A ||∙|| A –1|| = 3439,7.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)