Действия над операторами. Сложение операторов

Рассмотрим 2 линейные оператора и определенные в одном и том же линейном пространстве .

Определение. Суммой операторов и называется оператор, действующий согласно следующей формуле:

Два оператора и называются равными: , если результаты их действия равны для всех :

.

Теорема. Сумма двух линейных операторов тоже линейный оператор.

Доказательство. Подействуем оператором на линейную комбинацию: :

.

Преобразуем левую часть равенства:

Непосредственно проверяется, что сложение операторов обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

Покажем, что для любого оператора , действующего в линейном векторном пространстве , существует дополнительный к нему оператор (обозначается ), называемый противоположным, такой, что:

, т.е. ,

.

Т.е. из существования оператора следует существование и оператора .

Поиск по сайту: