Умножение операторов

Но для операторов введена еще одна операция.

Пусть на всем векторном линейном пространстве определены операторы и .

Определение. Произведением оператора на называется оператор , определяемый следующим равенством:

.

Легко проверить, что умножение операторов обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Коммутативностью умножение операторов, вообще говоря, не обладает. Однако легко проверить, что:

; .

Если , то операторы и называются перестановочными (коммутирующими).

Примеры некоммутирующих операторов:

1) В трехмерном пространстве свободных векторов рассмотрим два оператора: оператор вращения вектора вокруг оси на угол против часовой стрелки и оператор проектирования на ось . Проверим коммутативность произведения этих векторов. Применим произведения операторов и к базисным ортам и :

;

2) В пространстве рассмотрим оператор дифференцирования (оператор в , но область определения у него уже: ) и оператор умножения на переменную . Подействуем их произведением, взятым в разном порядке, на произвольную функцию :

.

.

Если вычесть второе из первого, получим (вычитание векторов можно ввести как сложение с предшествующим умножением на ):

.

Такое впечатление, что – единичный оператор: .

Однако равенство здесь ставить нельзя, так как область определения у правого и левого операторов разные.

Заметим при этом, что эти операторы и будут коммутирующими в пространстве всех многочленов .

Поиск по сайту: