Сложение матриц и умножение на число

Сложение определено только для матриц одинаковых размеров. Определение 14.2 Суммой матриц и размеров является матрица таких же размеров, у которой , , .

Другими словами, при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

Определение 14.3 Произведением матрицы размеров на число называется матрица таких же размеров, у которой , , .

Другими словами, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число. Например, .

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемые линейными операциями, обладают следующими свойствами:

1. -- свойство коммутативности;
2. -- свойство ассоциативности;
3. ;
4. ;
5. -- свойство дистрибутивности;
6. ;
7. ;
8. .

транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номеромами.

·

·

·

·

11.Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

12. 1) Сначала находим определитель матрицы.

2) Находим матрицу миноров .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений.

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу

Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. det A ≠ 0.

13.

Свойства фундаментальной системы решений[править | править вики-текст]

а) Всякая ФСР линейно независима

б) Если две системы уравнений имеют одну и ту же ФСР, то эти системы уравнений эквивалентны

в) Любая фундаментальная система решений однородной СЛУ (*0) состоит из n - r линейно независимых решений. (n -число неизвестных, r -ранг матрицы A)

г) Всякая линейно независимая система, состоящая из n - r решений ОСЛУ (*0), является ее фундаментальной системой решений

д) Если всякое решение ОСЛУ (*) является линейной комбинацией системы (g), состоящей из n - r векторов, то (g) - ФСР(*)

Определенная однородная система линейных уравнений не имеет ФСР

Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю.

14.

Определение: ненулевой вектор , который при умножении на некоторую квадратную матрицу превращается в самого же себя с числовым коэффициентом , называется собственным вектором матрицы . Число называют собственным значением или собственным числом данной матрицы.

Собственными числами матрицы являются корни уравнения

и только они.

Доказательство. Пусть столбец -- собственный вектор матрицы с собственным числом . Тогда, по определению, . Это равенство можно переписать в виде . Так как для единичной матрицы выполнено , то . По свойству матричного умножения и предыдущее равенство принимает вид

(19.4)

Допустим, что определитель матрицы отличен от нуля, . Тогда у этой матрицы существует обратная . Из равенства (19.4) получим, что , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения .

Пусть -- корень уравнения . Тогда базисный минор матрицы не может совпадать с определителем матрицы и поэтому , -- порядок матрицы . Уравнение (19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными , являющимися элементами матрицы-столбца . По теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно , что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы .

Определитель является многочленом степени от переменного , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.

Определение 19.5 Матрица называется характеристической матрицей матрицы , многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .

Аналитическая геометрия

16. Скалярами (скалярными величинами) называются величины, характеризуемые

только численным значением; векторами (векторными величинами) – величины, ха-

рактеризуемые не только численным значением, но и направлением в пространстве.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

|a| = √ax2 + ay2 + az2

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

1. Суммой двух векторов u и v называется третий вектор w, проведенный из начала u к концу v, если начало вектора v совпадает с концом вектора u. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

2. Суммой нескольких векторов u ₁, u ₂, u ₃,... называется вектор w, получающийся в результате последовательного сложения данных векторов. Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

3. Коммутативный закон сложения

4. Ассоциативный закон сложения

5. Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.

6. Разностью двух векторов u и v называется вектор w при условии:

7. Разность векторов u и v равна сумме вектора u и противоположного вектора (− v):

8. Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору:

9. Длина нулевого вектора равна нулю:

10. Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.

Свойства:

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Свойства: Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно

a · a ≥ 0

Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0 <=> a = 0

Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a · a = |a|2

Операция скалярного умножения коммуникативна:

a · b = b · a

Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b

(αa) · b = α(a · b)

Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Два ненулевых n -мерных вектора и называются ортогональными, или перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

,

- условие ортогональности.

17. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

рис. 1

Поиск по сайту: