Теорема Лапласа. 1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

6. Определителем матрицы А (определителем n-го порядка) называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «-» в противном случае.

1⁰. При транспонировании определитель не меняется (напомним, что транспонирование матрицы и определителя означает перемену строк и столбцов местами).

2⁰. Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

3⁰. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

4⁰. Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.

5⁰. Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

6⁰. Если в определителе все элементы к-ой строки есть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки, кроме к-ой, такие же как и в данном определителе. На месте элементов к-ой строки одного из них стоят первые слагаемые элементов к-ой строки данного определителя, а на месте элементов к-ой строки второго – вторые их слагаемые.

7⁰. Если к одной строке определителя прибавить другую его строку, все элементы которой умножены на одно и то же число, то определитель не изменится.

8⁰. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение не зависит от того, какой элемент стоит в к-ой строке и р-ом столбце определителя.

Теорема Лапласа

Пусть выбраны любые строк матрицы . Тогда определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений миноров -го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.

где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов

7. Диагональные и треугольные матрицы[править | править вики-текст]

Если все элементы вне главной диагонали нулевые, A называется диагональной. Если все элементы над (под) главной диагональю нулевые, A называется нижней (верхней) треугольной матрицей.

Симметричные и кососимметричные матрицы[править | править вики-текст]

Квадратная матрица A, совпадающая со своей транспонированной, т.е., A = A ^T, называется симметричной. Если же, A равна минус транспонированной, т.е., A = − A ^T, A называется кососимметричной. В случае комплексных матриц симметрия часто заменяется понятием самосопряжённости, и в этом случае требуется, чтобы выполнялось A ^∗ = A, где звёздочка означает сопряжено-транспонированную матрицу, т.е транспонированную сопряжённой к A.

По спектральной теореме для вещественных симметричных матриц и комплексных Эрмитовых матриц существуют базисы, состоящие из собственных векторов. То есть, люой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинациисобственных векторов. В обоих случаях все собственные значения вещественны.^[1] Эту теорему можно распространить на бесконечномерный случай, когда матрицы имеют бесконечно много строк и столбцов.

8.

Вычтем из последнего столбца предпоследний, уможенный на , из -го — -й, уможенный на , из -го — -й, уможенный на и так далее для всех стобцов. Эти преобразования не меняют определитель матрицы. Получим

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, получаем, что он равен следующему определителю:

Для всех от 1 до вынесем из -й строки множитель . Получим

Подставим значение имеющегося в предыдущей формуле определителя, известного из индукционного предположения:

■

9. Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -той строки и -того столбца.

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число

Поиск по сайту: