Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M₁(x₁, y₁, z₁) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до прямой l можно найти, используя формулу

Математический анализ

31.

Занумерованный ряд чисел a1, a2, a3, …, an, … называется числовой последовательностью.

На множестве всех последовательностей элементов множества можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве . Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве определена -арная операция : Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества операция будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестностикоторого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

· Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

· Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей[править | править вики-текст]

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

· Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

· Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

· Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

· Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

· Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

· Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

· Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

· Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.

· Если — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно малой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно малой.

· Если — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно большой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно большой.

· Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества , имеющая предел в этом множестве.

· Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей[править | править вики-текст]

· Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

· Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

· Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.

· Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

· Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.

· Если последовательность сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

· Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

· Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

· Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

· Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

· Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

· Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

· Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

· Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

· Любую сходящуюся последовательность можно представить в виде , где — предел последовательности , а — некоторая бесконечно малая последовательность.

· Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

32. Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Свойства[править | править вики-текст]

· Ограниченность.

· Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.

· Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.

· Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

· Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)

· Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.

· Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

33. 1.1. Понятие функции одной переменной

Рассмотрим два числовых множества X и Y. Правило f, по которому каждому числу хI Х ставится в соответствие единственное число yI Y, называется числовой функцией, заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y.

Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:

1) множество Х (область определения функции);

2) множество Y (область значений функции);

3) правило соответствия f (сама функция).

Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x³. В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y, пишут y = f(x). Здесь " х " называют независимой переменной или аргументом, а " y " - зависимой переменной (т.к. выражение типа x³ само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х) или функцией от х. О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у. Например, если х=2, то функция f(x) =x³ принимает значение у = f(2) =2³ =8.

1.2. Способы задания функции одной переменной

Существуют несколько способов задания функции.

Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x². Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.

Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x)). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".

Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.

Для начала рассмотрим однозначные и многозначные. Если каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, то она называется однозначной; если два или больше, - то многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.). Когда особо не оговорено, что она многозначна, подразумевается, что - однозначна.

Также те, которые представленные формулами, подразделяются на явные и неявные. Их определение я давал в предыдущей статье, поэтому не буду повторяться.

Ещё бывают элементарные и неэлементарные. Последнее подразделение носит скорее исторический, чем математический характер. Каждая из основных элементарных функций представляет некоторое «действие» над аргументом (возведение в квадрат, извлечение кубического корня, логарифмирование, нахождение синуса и т. д.). Путем повторного выполнения этих действий, а также четырех основных операций арифметики (в ограниченном числе) получаются новые; они также причисляются к элементарным. Те, которые нельзя выразить указанным способом, считаются неэлементарными.

И на конец, они могут быть алгебраические и трансцендентные.

34. Предел функции по Гейне[править | править вики-текст]

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .^[1]

Предел функции по Коши[править | править вики-текст]

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .^[1]

Поиск по сайту: