Тема 3.1 Движение несвободной материальной точки

3.1.1. Основные понятия и аксиомы динамики

Динамика изучает движение материальных тел под действием сил.

В основе динамики лежат следующие аксиомы.

Аксиома 1 (принцип инерции). Всякая изолированная ма­териальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Аксиома 2 (основной закон динамики). Ускорение матери­альной точки пропорционально действующей силе F и направлено по той прямой, по которой действует эта сила.

Математически вторая аксиома записывается векторным равенством

,

где коэффициент пропорциональности m выражает меру инертности материальной точки и называется ее массой. В Международной сис­теме единиц (СИ) масса выражается в килограммах.

Зависимость между числовыми значениями (модулями) сил и уско­рения выражается равенством

.

На все материальные тела вблизи Земли действует сила тяжести G. При свободном падении на Землю тела любой массы приобретают одно и то же ускорение g, которое называется ускорени­ем свободного падения. Для свободно падающего тела из предыдущего уравнения следует зависимость

G = mg.

Таким образом, значение силы тяжести тела в ньютонах равно произведению его массы на ускорение свободного падения.

Аксиома 3 (закон независимости действия сил). Если к материальной точке приложена система сил, то каждая из сил сис­темы сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.

Таким образом, при одновременном действии на материальную точку массой m, например, четырех сил, ускорение , полученное точкой, можно определить, геометрически сложив ускорения и возникающие под действием каждой силы в отдель­ности.В то же время ускорение , пропорционально равнодейству­ющей тех же сил ,

где и .

Аксиома 4. Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными в противопо­ложные стороны.

3.1.2. Свободная и несвободная точки

Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-либо связями, называется свободной. Приме­ром свободной материальной точки может служить искусственный спутник Земли в околоземном пространстве или летящий самолет. Их перемещение в пространстве ничем не ограничено, поэтому летчик на спортивном самолете способен проделывать различные сложные фигуры высшего пилотажа. Задачи динамики сводятся к двум основ­ным:

1) задается закон движения точки, требуется определить дейст­вующую на нее силу или систему сил (первая задача динамики);

2) задается система сил, действующая на точку, требуется оп­ределить закон движения (вторая задача динамики).

Обе задачи динамики решаются с помощью основного закона дина­мики, записанного в форме или .

Материальная точка, свобода перемещения которой ограничена наложенными связями, называется несвободной. Примером несвободной материальной точки может служить движущийся по рель­сам трамвай, если пренебречь его формой и размерами. Для несво­бодной материальной точки все внешние силы необходимо делить на две категории: активные (движущие) силы и реакции связи (пассивные силы). В связи с этим первая задача динамики несво­бодной точки сводится к определению реакций связей, если заданы законы движения точки и действующие на нее активные силы. Вторая задача динамики сводится к тому, чтобы, зная действующие на точ­ку активные силы, определить, во-первых, закон движения точки и, во-вторых, реакции связей.

Если несвободную материальную точку освободить от связей и заменить связи их реакциями, то движение точки можно рассматри­вать как свободное, а основному закону дина­мики придать такой вид:

,

где активные силы; - реакции связей; m - масса точки и - ускорение точки, полученное в результате действия внешних сил (активных и пассивных).

3.1.3. Силы инерции

Сила, численно равная произведению массы материальной точки на приобретенное ею ускорение и направленная в сторону, противо­положную ускорению, называется силой инерции.

.

Сила инерции в действительности не приложена к получившей ускорение материальной точке, а действует на точку или тело, ко­торое сообщает ускорение этой точке.

Поясним это несколькими примерами.

Тяжелый груз, масса которого m, висит на непрочной нити, но способной выдержать натяжение R=G. Если теперь резко потянуть нить вертикально вверх, то нить может оборваться. На нить начи-

нает действовать дополнительная сила инерции . численно рав­ная , выражающая противодействие груза выходу его из состоя­ния инерции. Нить может оборваться и в том случае, если толкнуть в горизонтальном направлении подвешенный груз, заставив его рас­качиваться на нити.

При криволинейном движении мате­риальной точки у нее возникает ускорение , кото­рое обычно заменяют двумя составляющими ускорениями: (нор­мальное ускорение) и (касательное ускорение). Поэтому при криволинейном движении материальной точки возникают две состав­ляющие силы инерции : нормальная (иначе центробежная) сила инерции

и касательная (иначе тангенциальная) сила инерции

3.1.4. Принцип Даламбера

Силы инерции широко используются при расчетах и решении тех­нических задач, причем использование сил инерции позволяет свес­ти к знакомым нам уравнениям статики решения многих задач, в ко­торых рассматривается движение несвободной материальной точки.

Прикладывая условно силу инерции . к движущейся материаль­ной точке, можем считать, что активные силы , реакции связей и сила инерции , образуют уравновешенную систему (принцип Даламбера).

Решение задач динамики с помощью принципа Даламбера иногда называют методом кинетостатики.

Поиск по сайту: