Тема 3.2 Работа и мощность

3.2.1. Работа постоянной силы

на прямолинейном перемещении

Если при действии постоянной силы на точку М ее перемеще­ние ,

то скалярная мера действия силы называется работой.

,

где - угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

В СИ работа выражается в джоулях: 1 Дж = 1 H • м килоджоулях:

кДж = 10³ Дж или в мегаджоулях: 1 МДж = 10⁶ Дж. Из предыдущей формулы видно, что работа - величина алгебраическая.

1. При изменении угла в пределах значение . Поэтому если угол - острый, то работа силы положительная. В частном случае, когда направление действия силы совпадает с направлением перемещений ( =0), и

2. При изменении угла в пределах 90°< <180° значение . Следовательно, если угол - тупой, то работа силы

- отрицательная. В частном случае при = 180°; и .

3. Заметим, что при = 90° значение

и W=0, т.е. работа силы, направленной перпендикулярно переме­щению точки, равна нулю.

Рассмотренные выше три частных случая значений работы силы при = 0°, = 180°, = 90° аналогичны значениям работы си­лы тяжести. Работа силы тяжести не зависит от траектории движе­ния точки и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях. Если точка М перемещает­ся из положения M₁ в положение М₂, то при любой траектории точ­ки работа силы тяжести равна:

где - начальная высота точки над заданным уровнем на Земле; - конечная высота над тем же уровнем.

3.2.2. Работа равнодействующей силы

Если на точку действует одновременно несколько сил, то алгеб­раическая сумма их работ равна работе равнодействующей силы.

Допустим, что перемещение точки произошло при дей­ствии на нее трех сил: и . Тогда, обозначив работу каждой из сил соответственно W₁, W₂ и W₃, можем записать

.

Сложив правые и левые части этих равенств, получим

Известно, что сумма проекций сил на некоторую ось равна проек­ции равнодействующей этих сил на ту же ось

Таким образом,

.

Так как . и есть работа равнодействующей силы

, то

или в общем случае для любого числа сил

.

При равномерном прямолинейном движении точки приложенная к

ней система сил уравновешена (первая аксиома динамики), т.е. , и тогда

(алгебраическая сумма работ уравновешенной системы сил, прило­женных к точке, равна нулю).

3.2.3. Работа переменной силы

на криволинейном пути

Чтобы определить работу непостоянной силы F при перемещении точки М по криволинейной траектории M₀ M₁, надо дугу M₀ M₁ траек­тории разделить на множество частей dS, настолько малых, что

каждую из них можно считать отрезком прямой. Тогда работа силы F на перемещении dS, так называемая элементарная работа, равна

.

Просуммировав все элементарные работы переменной силы , по­лучим ее работу на участке траектории от M₀ до M₁ :

Разложив силу на составляющие и , направленные со­ответственно по нормали и касательной, увидим, что работа нор­мальной составляющей равняется нулю и, следовательно, в предыду­щей формуле произведение выражает модуль касательной со­ставляющей силы , т.е. , и этой формуле можем при­дать вид:

Интегралы могут быть определены лишь в том случае, если из­вестен закон движения точки.

3.2.4. Мощность

Скалярная величина

,

характеризующая быстроту совершения работы, называется сред­ней мощностью силы. В СИ мощность выражается в ваттах:

Если в течении некоторого времени t мощность машины остается постоянная или существенно неизменно, то произведена работа выражается формулой:

отсюда и появляется единица времени

3.2.5. Механический коэффициент полезного действия.

В технике работа сил обычно связана с преодолением различных сопротивлений для выполнения этой работы создается множество разнообразных машин и механизмов.

Силы сопротивления F_c, который преодолевает любая машина (механизм):

o сопротивление для преодоления которого машины или механизмы и предназначены (полезное сопротивление) F_пс.

o вредное сопротивление F_вс которое приходится вынуждено преодолевать попутно с полезной.

Тогда вся работа совершает машина или механизм:

где - работа по преодолении полезного сопротивления, отсюда:

Отношения полезной работы ко всей совершенной работе называется механический коэффициент полезного действия.

В технике распространены случаи работы машин при их последовательном соединении друг с другом.

Допустим, имеем совокупность трех механизмов с КПД .Если работа совершенная механизмам и их полезная работа , то КПД всех точек механизмов:

Вывод: чем длиннее «цепочка» совместно работающих механизмов, тем меньше её общий КПД, причем общий КПД всегда меньше самого низкого из числа перемножаемых КПД.

3.2.6. Работа сил на наклонной плоскости.

 

Пусть требуется поднять на высоту h груз сила тяжести которого G.

 

 

Предположим что подъем осуществляется тремя способами:

1) Вертикальный

2) По наклонной плоскости с углом подъема α.

3) По менее крутой плоскости с углом подъема β (β<α).

 

Если считать, что груз перемещается равномерно то работа по подъеме груза во всех 3-х случаях совершаются одинакова:

 

Но, в первом случае приходится преодолевать силу тяжести G

во втором -

в третьем -

но так как точка β<α ,то

Наклонная плоскость, как одно из средств получения выигрыша в силе при перемещении тяжести, широко использование в технике.

 

Сила F направлена параллельно наклонной плоскости.

 

 

 

При перемещении вверх по наклонной плоскости тела и на него кроме силы F, действует еще три силы:

- сила тяжести G нормальная реакция наклонной плоскости R_n, значение которого равно:

- сила трения R_f значения которого равно:

При равномерном подъеме тела М четыре силы образуют уравновешенную систему. Алгебраическая сумма работ этих сил равна нулю.

где - работа силы тяжести

- работа силы трения

- работа нормальной реакции

 

 

Если же требуется определить значение силы F, то с учетом того, что получаем:

Полезную часть работы сил F составляют работа по подъему тела на высоту

и тогда:

Таким образом КПД наклонной плоскости при подъеме груза силой направленной параллельно наклонной плоскости:

 

Вывод: КПД наклонной плоскости зависит только от ее угла наклона и коэффициента трения при перемещении груза по плоскости

 

3.2.7. Работа и мощность при вращательном

движении тел

 

Допустим, что к рукоятке С колеса, насаженного на ось OZ,

приложена сила , постоянно направленная перпендикулярно СО =г. При вращении колеса точка приложения силы перемещается по окружности и элементарная работа этой силы

.

Но так как , то , где произведение называется вращающим моментом. Следовательно, при вращении тела элементарная работа

.

При повороте колеса на угол работа

 

.

Если при этом вращающий момент , то

(работа при вращении тела равна произведению вращающего момента на угол поворота).

Разделив обе части этого равенства на время действия вращающего момента, получим его мощность:

,

или, так как ,

(мощность при вращении тела равна произведению вращающего мо­мента на угловую скорость).

Из последней формулы вытекает важное следствие:

(при постоянной мощности вращающий момент обратно пропорциона­лен угловой скорости).

 

3.2.8. Трение качения. Работа при качении тел.

Трением качения называется сопротивление, возникающее при пе­рекатывании тела по поверхности другого. Тело 1 и каток 2 абсо­лютно недеформируемые. Малая сила F вместе с силой трения . приложенной к катку в точке К, образуют пару (F, ), под дей­ствием которой каток начинает катиться (а).

На самом деле абсолютно недеформируемых тел нет (б). При перека­тывании катка силой деформация смещается вперед по направле­нию качения и место приложения полной реакции опорной поверх­ности смещается также несколько вперед на длину относитель­но теоретической точки касания К и отклоняется от нормали на небольшой угол (в).

При качении катка на него действуют четыре силы, образующие две пары сил: движущую пару (, ) с моментом и пару

сопротивления качению (, ) с моментом . Момент пары сопротивления иначе называют моментом трения качения, а величину - коэффициентом трения качения. Значение зависит от ма­териала тел и выражается обычно в сантиметрах. Например, для мягкой стали по стали =0,005 см, а для закаленной стали по стали (подшипники качения) =0,001 см. Качение катка 2 начи­нается при условии:

.

Для перекатывания катка сила

.

 

 

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

---