Тема 2.2 Простейшие движения твердого тела

2.2.1. Поступательное движение

Движение твердого тела, при котором любой выбранный в теле отрезок прямой перемещается, оставаясь параллельным своему пер­воначальному положению, называется поступательным.

Рассмотрим две точки А и В, соединенные отрезком АВ. Очевид­но, что при перемещении отрезка АВ параллельно первоначальному положению () точки А и В движутся по одинаковым траекториям, т.е. если траекторию совместить с траекторией , то они совпадут. Если вместе с точкой А рассмотреть дви­жение точки С, то при движении тела отрезок АС также остается

параллельным своему первоначальному положению () и траектория точки С (кривая ) одинакова с траекториями и .

или , или

или , или .

Как видим, поступательное движение твердого тела полностью характеризуется движением любой его точки. Обычно поступательное движение тела задается движением его центра тяжести, иначе гово­ря, при поступательном движении тело можно считать материальной точкой.

Примерами поступательного движения тел могут служить какой-либо ползун 1, движущийся в прямолинейных направляющих 2, или прямолинейно движущийся автомобиль (вернее, не весь автомобиль, а его шасси с кузовом). Иногда криволинейное движение на поворо­тах дорог автомобилей или поездов условно принимают за поступа­тельное. В подобных случаях говорят, что автомобиль или поезд движется с такой-то скоростью или с таким-то ускорением.

Примерами криволинейного поступательного движения служат дви­жение вагончика (люльки) подвесной канатной дороги или движение спарника, соединяющего два параллельных кривошипа. В последнем случае каждая точка спарника движется по окружности.

2.2.2. Вращательное движение.

Угловая скорость, угловое ускорение

Движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются по окружности с центрами, расположенными на перпендикулярной этим окружностям неподвижной прямой, называется вращательным. Непо­движная прямая, на которой лежат центры круговых траекторий то­чек тела, называется его осью вращения. Для образования оси вра­щения достаточно закрепить какие-либо две точки тела. В качестве примеров вращательного движения тел можно привести движение две­рей или створок окон при их открывании или закрывании.

Представим себе тело в виде цилиндра, ось АВ которого лежит в подшипниках.

Движением одной какой-либо точки однозначно определить враща­тельное движение тела нельзя.

Для установления закона вращательного движения тела, по кото­рому можно определять его положение в данный момент, проведем через ось вращения тела связанную только с нею неподвижную полу­плоскость НП, а внутри тела отметим подвижную полуплоскость, ко­торая вращается около оси вместе с телом, теперь угол , обра­зуемый в каждый данный момент времени полуплоскостями НП и ПП, точно определяет положение тела в пространстве. Угол называ­ется углом поворота и выражается в радианах. Чтобы определять положение тела в пространстве в любой момент времени, необходимо знать зависимость между углом поворота и временем t, т.е. знать закон вращательного движения тела;

.

Быстрота изменения угла поворота во времени характеризуется величиной, которая называется угловой скоростью.

Представим, что в некоторый момент времени tположение вращающегося тела определяется углом поворота , а в момент - углом поворота . Следовательно, за время тело по­вернулось на угол и величина

называется средней угловой скоростью.

Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение, обозначаемое . Среднее ускорение

Единица углового ускорения 1 рад/с².

Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода стрелок часов, считать положительным, а отсчитываемый по ходу стрелок часов - отрицательным.

Векторы и - это скользящие векторы, которые направлены по оси вращения в ту сторону, чтобы, глядя из конца вектора (или ), видеть вращение, происходящее против часовой стрелки.

Если векторы и направлены в одну сторону, то вращательное движение тела ускоренное - угловая скорость возрастает. Если векторы и направлены в противоположные стороны, то враще­ние тела замедленное - угловая скорость уменьшается.

2.2.3. Частные случаи вращательного движения

1. Равно мерное вращательное дви­жение. Если угловое ускорение = 0 и, следовательно, угло­вая скорость

(2.1)

то вращательное движение называется равномерным. Из выражения (2.1) после разделения переменных

.

Если при изменении времени от 0 до t угол поворота изменял­ся от (начальный угол поворота) до , то, интегрируя урав­нение в этих пределах _ч

получаем уравнение равномерного вращательного движения

которое в окончательном виде записывается так:

. (2.2)

Если = 0, то

(2.3)

Таким образом, при равномерном вращательном движении угловая скорость

или при

2. Равнопеременное вращательное движение. Если угловое ускорение

(2.4)

то вращательное движение называется равнопеременным. Производя разделение переменных в выражении (2.4):

и приняв, что при изменении времени от 0 до t угловая скорость изменилась от (начальная угловая скорость) до , проинтег­рируем уравнение в этих пределах:

или

т.е. получим уравнение

(2.5)

выражающее значение угловой скорости в любой момент времени.

Закон равнопеременного вращательного движения или, с учетом уравнения (2.5):

Полагая, что в течение времени от 0 до t угол поворота изме­нялся от до , проинтегрируем уравнение в этих пределах:

или

Уравнение равнопеременного вращательного движения в оконча­тельном виде:

(2.6)

Первую вспомогательную формулу получим» исключив из формул (2.5) и (2.6) время:

(2.7)

Исключив из тех же формул угловое ускорение £, получим вто­рую вспомогательную формулу:

, (2.8)

где - средняя угловая скорость при равнопере­менном вращательном движении.

Когда и , формулы (2.5), (2.6), (2.7) и (2.8) приобретают более простой вид:

В процессе конструирования угловое перемещение выражают не в радианах, а просто в оборотах.

Угловая скорость, выражаемая количеством оборотов в минуту, называется частотой вращения и обозначается n.. Установим зависимость между (рад/с) и n (об/мин). Так как , то при n (об/мин) за t= 1 мин = 60с угол поворота . Следо­вательно,

.

При переходе от угловой скорости (рад/с) к частоте враще­ния n (об/мин) имеем

.

2.2.4. Скорости и ускорения различных

точек вращающегося тела

Определим скорость и ускорение любой точки в любой момент вре­мени. Для этой цели установим зависимость между угловыми величи­нами , и , характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами и , характеризующими движение точек тела.

Допустим, что тело, показанное на рисунке, вращаемся согласно уравнению . Требуется определить скорость V и ускоре­ние точки А этого тела, расположенной на расстоянии от оси вращения 0. Пусть тело за некоторое время tповернулось на угол , а точка А, двигаясь по окружности из некоторого начального положения а_о, переместилась на расстояние

S =A₀ A. Так как угол If выражается в радианах, то

, (2.9)

т.е. расстояние, пройденное точкой вращающегося тела, пропорцио­нально его углу поворота. Расстояние S и угол поворота -функции времени, a - величина, постоянная для данной точки. Продифференцируем по времени обе части равенства (2.9) и получим

но - скорость точки, a - угловая ско­рость тела, поэтому

(2.10)

т.е. скорость точки вращающегося тела пропорциональна его угло­вой скорости.

Изформулы (2.10) видно, что для точек, расположенных на оси вращения, =0 и скорости этих точек также равны нулю. По мере изменения , т.е. у точек, находящихся дальше от оси вращения, скорости тем больше, чем больше значение . Пропорциональная зависимость скоростей различных точек вращающегося тела от их расстояний относительно оси вращения показана на рисунке.

Продифференцировав обе части равенства (2.10), имеем

,

но - касательное ускорение точки, a - угловое ускорение тела, значит,

(2.11)

т.е. касательное ускорение точки вращающегося тела пропорцио­нально его угловому ускорению.

Подставив в формулу , значение скорости из формулы (2.10), получим

(2.12)

т.е. нормальное ускорение точки вращающегося тела пропорциональ­но второй степени его _угловой скорости.

Из формулы после подстановки вместо и

их значений из формул (2.11) и (2.12) получаем

. (2.3)

Направление вектора ускорения, т.е. угол , опре­деляется по одной из формул , причем последнюю из них можно представить теперь в таком виде:

или (2.14)

Из формул (2.13) и (2.14) следует, что для точек тела при его вращательном движении по заданному закону можно сначала найти ускорение , а затем разложить его на касательное ускорение и нормальное ускорение , модуль которых

и

2.2.5. Способы передачи вращательного движения

В технике часто возникает необходимость передачи вращательно­го движения от одной машины к другой (например, от электродвига­теля к станку) или внутри какой-либо машины от одной вращающейся детали к другой. Механические устройства, предназначенные для передачи и преобразования вращательного движения, так и называ­ются передачами.

Поиск по сайту: