КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ 2 страница

Следовательно в памяти ЕС ЭВМ число -0,01₍₁₀₎ будет представлено шестнадцатеричным словом BF28F5C3.

Задание 21. Представить число -43,375₍₁₀₎ в форме с ПЗ и смещённым порядком в коротком формате ЕС ЭВМ. Содержимое разрядной сетки представить 16-ричным словом.

Задание 22. Представить число 17,1₍₁₀₎ в форме с ПЗ и смещённым порядком в длинном формате ЕС ЭВМ.

Задание 23. Представить число -0,0625₍₁₀₎ в форме с ПЗ и смещённым порядком в коротком формате ЕС ЭВМ. Содержимое разрядной сетки представить 16-ричным словом.

Задание 24. Содержимое 32-х разрядной сетки ЕС ЭВМ представлено словом С3180000₍₁₆₎. Определить какое десятичное число записано в разрядной сетке.

1.1.4. Представление алфавитно-цифровой информации.

Используются различные системы соответствия символов (цифр, букв, математических и служебных знаков) их двоичному представлению. Это ДКОИ – двоичный код для обработки информации (8 разрядное представление символа), КОИ-8 – код обмена информацией (8 разрядов), КОИ-7 – код обмена информацией (7 разрядов).

Пример. Представить запись «СМ-4» в ДКОИ.

Система представления данных состоящих только из десятичных цифр использует двоично-десятичное кодирование. Соответствие десятичных цифр их 2-10-м кодам дано в таблице 1. Не используемые в таблице 1 комбинации (1010 – 1111) применяются для представления значков чисел и зоны в соответствии с табл. 2.

Таблица 1

Таблица 2

Существуют два специальных формата для многоразрядных десятичных чисел:

зонный формат

упакованный формат

В упакованном формате число байтов должно быть целым.

Пример. Представить десятичное число -5901 в зонном и упакованном форматах ДКОИ.

Задание 25. Представить запись «A/B-I» в ДКОИ и КОИ-8 используя таблицы в [1].

Задание 26. Представить последовательность десятичных чисел -17+0-10 в зонном формате ДКОИ.

Задание 27. Представить последовательность десятичных чисел +10-187-4 в упакованном формате КОИ-8.

Арифметические основы вычислительной техники.

Так как двоичная С. С. и десятичная С. С. принадлежат к одному классу позиционных аддитивных С. С. с естественным порядком весов, то правила выполнения арифметических операций над числами в этих С. С. одинаковы.

Пример. Выполнить четыре арифметических операции над числами

А=1001₍₂₎ и В=11₍₂₎.

1.2. Арифметические основы вычислительной техники.

1.2.1. Прямой, обратный и дополнительный коды чисел.

Коды целых и дробных чисел, представленных в форме с ФЗ, формируются одинаково. Вопрос о том, какое число закодировано – целое или дробное, решается по формату с которым работает ЭВМ.

Прямой код представляет собой запись самого числа с соответствующим знаком. Знак «+» кодируется 0, а знак «–» кодируется 1 и записывается крайним слева (для наглядности будем выделять знаковый разряд рамкой).

Обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом. Обратный код отрицательного числа формируется из прямого путём инвертирования цифр во всех разрядах за исключением знакового.

Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа формируется добавлением единицы к младшему разряду обратного кода этого числа.

Задание 28. Представить число -0,111₍₂₎ в прямом, обратном и дополнительных кодах.

Задание 29. Представить число -10000_(2)­ в прямом, обратном и дополнительных кодак.

1.2.2. Сложение и вычитание двоичных чисел.

Сложение и вычитание чисел представленных в форме с ФЗ.

Сложение и вычитание чисел А и В в форме с ФЗ сводится в ЭВМ к суммированию обратных или дополнительных кодов этих чисел с учётом знаков.

При суммировании дополнительных кодов чисел А и В сумма S получается в дополнительном коде: А_доп+В_доп=S_доп.

При суммировании обратных кодов чисел А и В сумма S получается в обратном коде: А_обр+В_обр=S_обр

всегда, за исключением случая, когда В<0. В этом случае, если есть перенос из знакового разряда, нужна коррекция результата суммирования S’ путём добавления 1 к его младшему разряду, т. е. при B<0: А­_обр+В_обр=S’+1=S_обр.

Для этого используется перенос из знакового разряда.

Пример. Выполнить суммирование чисел в обратном и дополнительном кодах при всех возможных комбинациях знаков.

Представим результаты вычислений таблицей и в каждой графе проведём проверку результата переводом его в прямой код S_пр.

А=9 В=3

А=-9 В=3

А=9 B=-3 (B<3)

A=-9 (A<0) B=-3 (B<0)

+Аобр=

+Аобр=

+Аобр=

+Аобр=

Вобр=

Вобр=

Вобр=

Вобр=

Sобр=

Sобр=

S’=

S’=

+1

+1

Sобр=

Sобр=

Sпр=Sобр= +12(10)

Sпр=

0110=-6(10)

Sпр=Sобр=+6(10)

Sпр=

1100=-12

+Адоп=

+Адоп=

+Адоп=

+Адоп=

Вдоп=

Вдоп=

Вдоп=

Вдоп=

Sдоп=

Sдоп=

Sдоп=

Sдоп=

Sпр=Sдоп= +12(10)

Sпр=

0110=-6(10)

Sпр=Sдоп=+6(10)

Sпр=

1100=-12

Задание 30. Выполнить суммирование чисел -7 и 5 в обратном и дополнительном кодах.

Задание 31. Выполнить суммирование чисел 14 и -10 в обратном и дополнительных кодах.

Задание 32. Выполнить суммирование чисел -8 и -6 в обратном и дополнительных кодах.

При выполнении операции суммирования кодов чисел, представленных в форме с ФЗ, возможно переполнение разрядной сетки ЭВМ. Существуют следующие признаки переполнения:

- одинаковые знаковые разряды слагаемых отличаются от знака результата;

- в процессе суммирования значение переносов из старшего и из знакового разрядов не совпадают.

Пример. Определить факт переполнения разрядной сетки ЭВМ при суммировании чисел представленных в обратном и дополнительном кодах при всех возможных комбинациях знаков.

Переполнение возможно лишь при равенстве знаков суммируемых чисел поэтому рассмотрим лишь пары чисел А>0, B>0 и A<0, B<0.

В обоих случаях произошло переполнение выявляемое по любому из приведённых выше признаков. Например, знак результата в каждом случае отличается от знаковых разрядов слагаемых, а значения переносов не совпадают.

Задание 33. Определить, возникнет ли переполнение разрядной сетки при суммировании чисел 7₍₁₀₎ и 11­₍₁₀₎.

Задание 34. По какому признаку можно определить факт переполнения разрядной сетки при суммировании чисел -13­₍₁₀₎ и -8_(10)­.

Сложение и вычитание чисел, представленных в форме с ПЗ.

Выполнение операций сложения и вычитания двоичных чисел и в форме с ПЗ аналогично соответствующим операциям над числами в форме с ФЗ, если выполняется условие Р_А=Р_В. Если , то необходимо:

- провести предварительное выравнивание порядков, что приводит к денормализации одной из мантисс;

- провести нормализацию результата операции, если мантисса результата или М_S<0,5. При нужна нормализация вправо, а при М_S<0,5 – нормализация влево.

Признаком необходимости нормализации вправо является переполнение поля разрядной сетки, отводимое под М_S. Это возможно лишь при суммировании чисел с одинаковыми знаками.

Признаком необходимости нормализации влево является совпадение цифр в знаковом разряде и старшем разряде мантиссы. Это возможно лишь при суммировании чисел с разными знаками, т. е. при представлении мантисс в обратном или дополнительных кодах.

Пример. Выполнить суммирование двоичных чисел и

В данном случае , следовательно проведём предварительное выравнивание порядков.

, .

Так как A>0 и B>0, то выполним суммирование в прямом коде

(мантиссы суммируются в прямом коде)

Так как 0,5<M_S<1, то нормализация результата не требуется и получим

.

Пример. Выполнить суммирование двоичных чисел и с представлением мантиссы шестью разрядами.

Так как Р_А=Р_В, то выравнивание порядков не требуется. Для случая В>0 нахождение суммы S проведём используя прямой код.

Так как возникло переполнение поля разрядной сетки, отведённого под мантиссу, проведём нормализацию результата вправо на один разряд, соответственно увеличив значение порядка на единицу, т. е.

	0

В итоге получим результат

Для случая В<0 нахождение суммы S проведём используя дополнительный код (мантиссы суммируются в дополнительном коде).

Так как возникло совпадение цифр в знаковом разряде и старшем разряде мантиссы, то проведём нормализацию результата влево на два разряда, соответственно уменьшив значение порядка на два, т. е.

S		0
S

В итоге получим результат

Задание 35. Выполнить суммирование двоичных чисел и .

Задание 36. Выполнить суммирование двоичных чисел +1101,11 и -1000,01 в форме с ПЗ.

Задание 37. Выполнить суммирование двоичных чисел и .

1.2.3. Сложение и вычитание чисел в двоично-десятичных кодах (Д-кодах).

Соответствие десятичных цифр их двоично-десятичным кодам дано таблицей.

Такое кодирование применяется при записи десятичных чисел в зонном и упакованном формате.

Сложение чисел в Д-кодах сводится к суммированию тетрад, соответствующих их разрядам, по правилам двоичной арифметики и коррекции тетрад суммы. Для тетрад суммы, значение которых превышают 1001, необходимо организовать перенос в следующую тетраду и выполнить коррекцию. Коррекция представляет собой вычитание 1010, что соответствует сложению тетрады с 0110 без переноса (т. к. 0110 есть дополнительный код числа 1010).

Пример. Определить сумму чисел А=753­₍₁₀₎ и В=439­₍₁₀₎ в двоично-десятичном коде.

Представим числа А и В в Д-коде и выполним суммирование:

,что соответствует 1192₍₁₀₎.

Вычисление чисел в Д-кодах выполняется так же, как и вычисление двоичных чисел, т. е. вычисляемое представляется в дополнительном коде, а операция вычисления сводится к сложению. Дополнительный код числа, представленного Д-кодом, формируется дополнением каждой тетрады до 1001 и добавлением к младшей тетраде единицы.

Пример. Определить разность чисел А=753­₍₁₀₎ и В=439₍₁₀₎ в двоично-десятичном коде.

Представим число В в дополнительном коде

Теперь выполним операцию S=А-В=А+В_доп.

, что соответствует 314₍₁₀₎.

Задание 38. Выполнить сложение чисел 280₍₁₀₎ и 157₍₁₀₎ в Д-коде.

Задание 39. Определить разность чисел 1092₍₁₀₎ и 956­₍₁₀₎ в Д-коде.

1.2.4. Умножение и деление двоичных чисел.

Ограничимся рассмотрением выполнения операций умножения и деления над двоичными числами в прямом коде с учётом их знаков. Эти операции выполняются с многократным применением операций сложения и сдвига и могут быть реализованы схемой показанной на рисунке.

Операция умножения чисел А и В выполняется в несколько тактов. Множимое А записывается в Рег.1, а множитель В в Рег.3. Рег.2 предварительно устанавливается в 0. На каждом такте анализируется содержимое старшего (левого) разряда Рег.3. Если в нём находится 1-ца, то производится общий сдвиг влево содержимого Рег.3 и Рег.2 (с переносом между ними) и суммирование содержимого регистров Рег.1 и Рег.2 с занесением результата в Рег.2. Если в старшем разряде Рег.3 находится 0, то производится лишь сдвиг влево содержимого Рег.3 и Рег.2. Число тактов равно числу разрядов множителя В. В результате произведение будет располагаться в Рег.3 и Рег.2.

Код знака результата операции умножения получаем суммированием по mod2 кодов знаков сомножителей (логическая функция сложения по mod2 показана далее).

Пример. Выполнить умножение чисел А=11₍₁₀₎=1011₍₂₎ и В=13₍₁₀₎=1101₍₂₎.

Для наглядности последующих действий предварительно умножим числа «в столбиках».

Теперь рассмотрим выполнение операции умножения схемой, представленной на рис. 1.

Операция проводится в 4 такта (число В четырёхразрядное).

Начальное содержимое регистров:

Такт 1. Так как в старшем разряде Рег.3 находится 1-ца, то производится сдвиг содержимого Рег.3 и Рег.2 и суммирование содержимого Рег.1 и Рег.2 с записью результата в Рег.2.

Такт 2. В старшем разряде Рег.3 опять 1-ца, следовательно, в результате сдвига и суммирования получим:

	Рег.3			Рег.2

Такт 3. В старшем разряде Рег.3 находится 0, поэтому производится только сдвиг.

	Рег.3			Рег.2

Такт 4. В старшем разряде Рег.3 опять 1-ца. Выполняются сдвиг и суммирование.

	Рег.3			Рег.2

Проверим правильность выполнения умножения.

10001111₍₂₎=143₍₁₀₎, т. е.

Задание 40. Выполнить операцию умножения чисел 14₍₁₀₎ и -9₍₁₀₎ реализуя алгоритм работы схемы рис. 1.

Задание 41. Выполнить операцию умножения чисел -19₍₁₀₎ и -7₍₁₀₎, реализуя алгоритм работы схемы рис. 1.

Операция деления чисел А и В выполняется схемой рис. 1 также за несколько тактов. Делимое А располагается одновременно в Рег.3 и Рег.2, а делитель В в Рег.1. На каждом такте сравнивается содержимое Рег.3 и Рег.1. Если число в Рег.3 больше числа в Рег.1, то производится:

- вычитание из содержимого Рег.3 содержимого Рег.1 с записью результата в Рег.3;

- общий сдвиг влево содержимого Рег.3 и Рег.2 (с переносом между ними);

- запись 1-цы в младший разряд Рег.2.

Если число в Рег.3 меньше числа в Рег.1, то производится лишь сдвиг влево содержимого Рег.3 и Рег.2. Итоговый результат операции деления будет располагаться в Рег.2.

Код знака результата операции деления получается аналогично коду знака результата операции умножения.

Пример. Выполнить деление числа 143₍₁₀₎=10001111₍₂₎ на число 11₍₁₀₎=1011₍₂₎.

Для наглядности последующих действий предварительно разделим числа «в столбик».

Теперь рассмотрим выполнение операции деления схемой, представленной на рис.1. Начальное содержимое регистров:

Поиск по сайту: