Рассказать о системах счисления. Дать определение основания систем счисления. Правила перевода из одной системы счисления в другую. Перечислить достоинства и недостатки

Главное достоинство двоичной системы — простота алгоритмов сложения, вычитания умножения и деления. Таблица умноже­ния в ней совсем не требует ничего запоминать: ведь любое число, умноженное на нуль равно нулю, а умноженное на единицу рав­но самому себе. И при этом никаких переносов в следующие раз­ряды, а они есть даже в троичной системе. Таблица деления сво­дится к двум равенствам 0/1=0, 1/1 = 1, благодаря чему деление столбиком многозначных двоичных чисел делается гораздо проще, чем в десятичной системе, и no-существу сводится к многократно­му вычитанию. Таблица сложения, как ни странно чуть сложнее, потому что 1+1 = 10 и возникает перенос в следующий разряд.

Перевод целых чисел. Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием d1 в другую с основанием d2 необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d2 новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания d2. Последнее частное — старшая цифра числа в новой систе­ме счисления с основанием d2, а следующие за ней цифры — это остатки от деления, записываемые в последовательно­сти, обратной их получению.

Примечание. При выполнении переводов чисел из одной системы счисления в другую все необходимые ариф­метические действия выполняются в той системе счисления, в которой записано переводимое число.

Пример 1.1. Перевести число 25₁₀ в двоичную и восьмерич­ную системы счисления:

Искомые числа запишутся в виде (25)₁₀ = (11001)₂ = (31)₈.

Произведем проверку правильности перевода обратным пере­водом искомых чисел в десятичную систему счисления, используя выражение (1.1):

а) (11001)₂=1*2⁴+1*2³ + 0.2²+0*1¹ + 1*2° =

= 16 +8 +0 +0 =1 =(25)₁₀.

б) (31)₈ = 3*8¹ + 1*8о=:24+1 = (25)₁₀.

Перевод правильных дробей. Чтобы перевести правиль­ную дробь из системы счисления с основанием d1 в систему с основанием d2, необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведе­ний на основание d2 новой системы счисления. Правильная дробь числа в новой системе счисления с основанием d2 формируется в виде целых частей получающихся произве­дений начиная с первого.

При переводе правильных дробей из одной системы счис­ления в другую можно получить дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда. Процесс перевода можно закон­чить, если появится дробная часть, имеющая во всех разря­дах нули, или будет достигнута заданная точность перевода, т. е. получено требуемое количество разрядов результата.

Если точность перевода равна d2^-q, то после q умноже­ний на d2 выписываются все найденные целые части в по­рядке их получения. Полученная запись будет представлять дробную часть числа в новой системе счисления.

Пример 1.2. Десятичную дробь 0,3126 перевести в двоич­ную систему счисления с точностью до 2^-4.

0,3126 0,6252 0,2504 0,5008

X___2 X___2 X___2 X___2

0,6252 1,2504 0,5008 1,0016

------------------------------------------->

направление чтения

Следовательно, искомое число запишется в виде: (0,3126)10 = (0,0101)₂, а возможная наибольшая ошибка будет 2^-4. Проверку произведем переводом полученного двоичного числа в десятичное, используя выражение (1.1):

(0,0101)₂ = 0*2^-2+1*2^-2 + 0*2^-3+1*2^-4= 1/4+1/16 = = 5/16 = (0,3125)₁₀.

Пример 1.3. Десятичную дробь 0,6 перевести в восьмерич­ную систему счисления с точностью 8^-5.

О, 6 0, 8 0, 4 0, 2 0, 6

X___8 X___8 X___8 х___8 X___8

4, 8 6, 4 3, 2 1,6 4, 8

-----------------------------à

направление чтения

При переводе ограничиваемся пятью разрядами (q— 5). Тогда искомое число запишется в виде: (0,6)₁₀— (0,46314)₈, а возможная наибольшая ошибка будет (<8^-5).

Поиск по сайту: