ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

I. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Прямыми измерениями называются такие, при которых измерение величины производится непосредственно по шкале прибора. Например,

измерение длины штангенциркулем, измерение веса тела на весах, определение промежут­ков времени с помощью секундомера. Если отклонение результатов измерений от истинного значения измеряемой величины происходит как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения результатов из­мерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет среднее арифметическое всех сделанных измерений:

, (1)

где - результаты отдельных измерений, n - число измерений.

Для характеристики степени приближения к истинному значению измеря­емой величины вводится понятие абсолютной погрешности - величины, показы­вающей насколько найденное (среднее арифметическое) значение может отли­чаться от истинного значения измеряемой величины.

Для определения абсолютной погрешности сначала нужно найти отклонения каж­дого отдельного измерения от среднего арифметического: , где - отклонение данного измерения, равное разности между сред­ним значением измеряемой величины и результатом этого измерения .

Случайная погрешность вычисляется по формуле:

, (2)

где - модули отклонений каж­дого отдельного измерения от среднего арифметического значения.

Из формулы (2) и теории вероятностей следует, что с увеличением числа измерений n случайная погрешность будет уменьшаться.

В качестве систематической погрешности берется приборная погрешность, равная половине цены деления шкалы прибора. Ценой деления прибора называется минимальная величина, измеряемая прибором.

В общем случае необходимо принимать во внимание как случайные, так и систематические погрешности прямых измерений. Поэтому абсолютная пог­решность при прямых измерениях рассчитывается по формуле:

(3)

где - случайная погрешностей, определяемых по формуле (2),

-систематическая погрешность прибора, инструмента.

Примечание: Если случайная погрешность много меньше систематической, то для повышения точности результата измерений нет смысла увеличивать число измерений, а нужно принять меры к уменьшению систематической погрешности (например, использовать более точные приборы).

Пример. Пусть измеряется диаметр цилиндрического стержня с помощью штанген­циркуля и делается 5 измерений: 34.50мм, 34.65мм,34.30мм,

34.70мм, 34.55мм.

Среднее арифметическое всех сделанных измерений:

Полученное значение даёт наиболее вероятное значение измеряемой величины D.

Для нахождения случайной погрешности нужно найти абсолютное значение отклонения каждого из 5-ти измерений от среднего арифметического и затем определить среднее значение этих отклонений:

Цена деления штангенциркуля равна 0.05 мм, следовательно, систематическая погрешность равна .

Абсолютная погрешность при измерении диаметра стержня:

Результат измерений принято записывать следующим образом:

.

(Результат измерений 34,54 мм и абсолютная погрешность 0,12 мм должны заканчиваться в одинаковом разряде)

Для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности:

Относительная погрешность ε представляет собой отношение абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины. В нашем примере относительная погрешность при измерении диаметра:

Относительная погрешность является безразмерной величиной. Она показывает, какую часть измеряемой величины составляет абсолютная погрешность.

Иногда относительная погрешность выражается в процентах:

I I. ПОГРЕШНОСТЬ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ.

В большинстве случаев в лабораторном практикуме нельзя определить искомую физическую величину непосредственно по приборам. В этом случае прибегают к косвенным измерениям. Косвенными измерениями являются измерения, полученные на основе прямых измерений и подсчитанные по математическим формулам.

Например, объем цилиндра определяется по формуле , где с по­мощью прямых измерений определяется диаметр цилиндра D и его высота h, объем же получается в результате косвенных измерений.

В таких случаях погрешность косвенного измерения зависит не только от погрешностей прямых измерений, но и от вида той математической формулы, по которой находится физическая величина.

Для нахождения погрешностей косвенных измерений удобно воспользо­ваться правилами дифференциального исчисления, считая искомую величину функцией, а величины, непосредственно измеряемые приборами, ее аргу­ментами. Пусть вид функциональной зависимости определяется формулой , где А - результат косвенного измерения, - ре­зультаты прямых измерений. По определению относительная погрешность равна

(5)

С другой стороны . Так как погрешность всегда много меньше измеряемой величины А, ошибки можно считать малыми величинами. Это дает возможность замены знака дифференциала d на знак абсолютной ошибки . То есть, можно записать: .

Из сопоставления приведенных формул следует, что относительную погреш­ность косвенного измерения можно найти путем:

1) логарифмирования исходного выражения ;

2) последующего дифференцирования ;

3) заменой знака дифференциала d на знак абсолютной погрешности ;

4) заменой всех знаков минус на знаки плюс перед знаками абсолютных погрешностей .

Пример.

Для определения плотности цилиндрического телаприменяется формула:

,

где m - масса тела, D - диаметр, h- высота. Величины m, D, h определяются в результате прямыхизмерений. Плотность определяетсяиз косвенных изме­рений. Для нахождения относительной погрешности, выполняем следующие действия:

1) находим натуральный логарифм исходного выражения

,

2) выполняем дифференцирование: ,

3) заменяем знак d на знак : ,

4) перед всеми знаками ставим знаки плюс .

Далее можно найти абсолютную погрешность: ,

где - абсолютная погрешность косвенного измерения, - среднеезначение искомой величины, ε – относительная погрешность.

Поиск по сайту: