Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

В большинстве практических приложений уравнении Максвелла требуется связать векторы поля с источниками в конкретной точке пространства. Для этой цели более удобна иная математическая форма записи уравнений - дифференциальная.

Переход от интегральной к дифференциальной форме записи уравнений можно осуществить с помощью известных из векторного анализа теорем Стокса и Гаусса-Остроградского.

Теорема Стокса: - циркуляция вектора по замкнутому

контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность, опирающуюся на данный контур.

Теорема Гаусса-Остроградского:

- поток вектора через

замкнутую поверхность равен дивергенции (расходимости) этого вектора из объема, ограниченного данной поверхностью.

Применив первую теорему к первому и второму, а вторую - к третьему
н четвертому уравнениям Максвелла в интегральной форме, можно получить
все четыре уравнения в дифференциальной форме:

________

_ _ _ _

Для полной характеристики электромагнитного поля при использовании уравнений Максвелла в дифференциальной форме необходимо ввести еще одно уравнение - непрерывности, базирующееся на принципе сохранения заряда. Вывод этого уравнения основывается на связи тока, вытекающего из элементарного объема. с уменьшением заряда внутри этого объема.

Граничные условия для нормальных составляющих векторов D и E следуют из теоремы Гаусса. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы (рис. 2.6).

Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность:

Выделяя потоки через основания и боковую поверхность цилиндра:

Где - значение касательной составляющей усредненное по боковой поверхности . Переходя к пределу при (при этом также стремится к нулю), получаем , или окончательно для нормальных составляющих вектора электрической индукции:

.

Для нормальных составляющих вектора напряженности поля получим:

.

Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред нормальная составляющая вектора терпит разрыв, а нормальная составляющая вектора непрерывна.

Граничные условия для касательных составляющих векторов D и E следуют из соотношения, описывающего циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Построим вблизи границы раздела прямоугольный замкнутый контур длины l и высоты h (рис. 2.7).

Учитывая, что для электростатического поля:

и обходя контур по часовой стрелке, представим циркуляцию вектора E в следующем виде:

Где - реднее значение En на боковых сторонах прямоугольника. Переходя к пределу при получим для касательных составляющих E: .

Для касательных составляющих вектора электрической индукции граничное условие имеет вид: .

Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред касательная составляющая вектора непрерывна, а касательная составляющая вектора терпит разрыв.

Граничные условия

Постановка задачи

Распространяясь, электромагнитное поле всегда встречает в пространстве препятствия. Естественными границами могут быть, например, металлические стенки или границы раздела сред, обладающих различными параметрами. Если параметры сред на границе раздела изменяются скачкообразно, то компоненты векторов электромагнитного поля также претерпевают разрыв в точках границы. Рассмотрим границу раздела двух сред (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Граница раздела двух сред с различными параметрами

Среда 1 имеет параметры m₁, e₁; среда 2 имеет параметры m₂, e₂. На границе раздела выделим произвольную точку P. Пусть известно электромагнитное поле в бесконечно малой окрестности этой точки, относящееся к среде 1. Необходимо знать электромагнитное поле в этой же окрестности, принадлежащей среде 2. Задача сводится к нахождению векторов электромагнитного поля во второй среде. Отметим, что параметры двух сред отличаются, но незначительно.

Любой вектор в пространстве, не совпадающий с нормалью и проведенный к единичной площадке, можно разложить на две составляющие: нормальную и тангенциальную. Решение поставленной задачи поведения векторов электромагнитного поля будет рассмотрено в отдельности для тангенциальных и нормальных составляющих этих векторов на границе раздела двух сред.

2.1 Граничные условия для нормальных составляющих магнитного поля

Выделим в окрестностях точки Р достаточно малый цилиндрический объем с основаниями DS и образующей Dh,, чтобы считать векторы магнитной индукции в двух средах постоянными (рис. 2.1).

Для вывода формул используем закон неразрывности силовых линий

.

Поток вектора магнитной индукции через суммарную поверхность запишется в виде суммы произведения магнитной индукции на площадь верхнего и нижнего оснований выделенного цилиндра и потока через боковую поверхность

поток через боковую поверхность (2.1)

Если устремить образующую Dh к нулю, приближенное равенство станет более точным и поток вектора магнитной индукции через боковую поверхность станет бесконечно малым. Тогда запишем

. (2.2)

Так как во всех случаях справедлив закон неразрывности силовых линий, запишем

. (2.3)

Поскольку связь между индукцией и напряженностью магнитного поля выражается формулой

,

то граничные условия для нормальной составляющей вектора напряженности магнитного поля можно записать в виде

. (2.4)

Из выше сказанного, очевидно, что индукция магнитного поля на границе двух сред непрерывна, а напряженность магнитного поля испытывает скачок, который зависит от параметров сред.

Граничные условия для нормальных составляющих электрического поля

Аналогично методике, примененной в предыдущем параграфе, выведем граничные условия для нормальных составляющих электрического поля.

Поток вектора индукции через суммарную поверхность запишется суммой произведения индукции электрического поля на площадь верхнего и нижнего оснований выделенного цилиндра и потока через боковую поверхность

поток через боковую поверхность (2.5)

Напомним, что в случае электрического поля выполняется равенство:

.

В рассматриваемом случае возможны два варианта:

1. Плотность поверхностных электрических зарядов равна нулю, т.е. s = 0.

В соответствии с теоремой Гаусса суммарный заряд, заключенный в рассматриваемой цилиндрической поверхности, будет равен

. (2.6)

Отсюда можно записать

Поскольку

,

запишем граничные условия для нормальных составляющих векторов напряженности электрического поля

. (2.7)

Таким образом, при отсутствии поверхностных электрических зарядов на границе раздела двух сред нормальные составляющие индукции электрического поля будут непрерывны, а нормальные составляющие векторов напряженности электрического поля будут испытывать скачок.

2. На границе раздела равномерно распределен поверхностный электрический заряд, который имеет плотность s. Используя закон Гаусса и устремив образующую цилиндра к нулю, можно записать

. (2.8)

Отсюда получим формулу в виде

Это означает, что при наличии заряженной границы раздела двух сред нормальные составляющие индукции электрического поля испытывают скачок на величину плотности поверхностного заряда.

Граничные условия для тангенциальных составляющих магнитного поля

Решение задачи о тангенциальных составляющих магнитного поля на границе раздела двух сред решается при помощи закона полного тока для некоторого контура, проведенного в окрестностях точки Р (рис. 2.2).

Рис. 2.2 Тангенциальные составляющие электромагнитного поля

Контур расположен перпендикулярно линии раздела двух сред. Направление обхода контура выберем против часовой стрелки.

Применим к рассматриваемому контуру закон полного тока и вычислим циркуляцию вектора напряженности магнитного поля по контуру

. (2.9)

Необходимо рассмотреть два случая:

1. Параметры обеих сред характеризуются конечными значениями.

При стремлении боковой стороны контура к нулю, циркуляция вектора напряженности магнитного поля по боковым сторонам будет также стремиться к нулю. Учитывая поставленные условия о конечности параметров, имеем

. (2.10)

Отсюда получаем соотношение

.

Поскольку напряженность магнитного поля выражается формулой

,

то можно записать граничные условия для тангенциальной составляющей вектора напряженности магнитного поля

. (2.11)

Таким образом, при конечных значениях параметров двух сред на границе раздела этих сред тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля будут непрерывны, а тангенциальные составляющие векторов магнитной индукции терпят разрыв.

2. Проводимость одной из граничных сред стремится к бесконечности.

При бесконечно большой проводимости, например, второй среды, глубина проникновения электромагнитных волн на любой частоте равна нулю. В результате токи проводимости протекают по поверхности.

2.2 Граничные условия для тангенциальных составляющих электрического поля

Решение задачи о тангенциальных составляющих электрического поля на границе раздела двух сред проводится с помощью закона электромагнитной индукции. В соответствии с этим законом для контура (рис. 2.3) можно записать

. (2.12)

Так как величина для граничных сред является конечной, то при стремлении боковой стороны контура к нулю () можно записать

. (2.13)

Откуда получаем соотношения

. (2.14)

Таким образом, на границе раздела двух тангенциальные составляющие векторов напряженности электрического поля сред непрерывны, однако тангенциальные составляющие индукции электрического поля претерпевают разрыв.

Рис. 2.3 Граница раздела двух сред с различными параметрами

Поиск по сайту: