Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля

Математика, 8 класс

Кармакова Тамара Сергеевна

Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля

Предлагаемые материалы предназначены учащимся 8 классов общеобразовательных учреждений и содержат определение понятия модуля числа, свойства модуля, способы решения уравнений с модулем и текст контрольной работы по указанной теме.

Модуль и его свойства

Введем определение модуля числа.

Определение. Модулем числа называется такое число , которое равно самому числу , если оно является неотрицательным и противоположному числу для числа , если число – отрицательное.

Символически это записывается так:

Примеры:

, т.к. 3,4>0;

, т.к. –7<0;

, т.к. <0;

, т.к. <0.

Перечислим свойства модуля числа:

1)

2) ;

3) ;

4) , ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Способы решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

Способы решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля, зависят от вида уравнений. Рассмотрим различные виды таких уравнений и способы их решения.

1. Уравнения вида .

Это уравнение имеет решение только при условии .

По определению модуля данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

Примеры.

1.1. Решить уравнение: .

Решение: По определению модуля получаем совокупность двух линейных уравнений:

Ответ: .

1.2. Решить уравнение: .

Решение: По определению модуля уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

Ответ:

2. Уравнения вида

По определению модуля данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:

1) 2)

Так как функция четная, то ее корни будут существовать парами противоположных чисел, т.е. если – корень данного уравнения, то и также корень данного уравнения. Следовательно, достаточно решить одну из двух смешанных систем, добавив в ответ к полученным корням им противоположные значения.

Примеры.

2.1. Решить уравнение:

Решение: Рассмотрим систему:

.

Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 3 и –3.

Ответ:

2.2. Решить уравнение: .

Решение: Рассмотрим систему:

Корнями уравнения являются числа и из которых условию удовлетворяет

Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 7 и –7.

Ответ:

3. Уравнения вида

Данное уравнение по определению модуля распадается на совокупность двух смешанных систем:

1) 2)

Примеры.

3.1. Решить уравнение:

Решение: По определению модуля данное уравнение равносильно совокупности следующих смешанных систем:

1)

2)

Ответ:

3.2. Решить уравнение:

Решение: Решить следует две смешанные системы:

1)

Ответ:

4. Уравнения вида

Такие уравнения решаются по следующему плану:

1) Находят значения , при переходе через которые меняется знак выражений т.е. , , ,..., .

2) Отмечают найденные значения , ,..., на числовой прямой, пусть для определенности

3) Рассматривают данное уравнение последовательно на промежутках: .

На каждом промежутке получается некоторое линейное уравнение, которое решают и в ответ отбирают те значения корней, которые содержатся в соответствующих промежутках.

Примеры

4.1. Решить уравнение: .

Решение:

1)

3) a) .

b)

с) корней нет.

Ответ:

4.2. Решить уравнение:

Решение:

1)

2)

3) а) .

б) корней нет.

в) .

г) корней нет.

Ответ:

Примечание. Аналогично решаются и уравнения, содержащие под знаком модуля нелинейные зависимости.

5. Уравнения вида

В соответствии с определением модуля данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) 2)

Можно, используя свойство модуля заменить решение данного уравнения решением уравнения .

Примеры.

5.1. Решить уравнение .

Решение: Заменим данное уравнение совокупностью двух уравнений:

1) ; 2) ;

; ;

, ; .

Ответ: , , .

5.2. Решить уравнение .

Решение: Используя свойство модуля числа, заменим данное уравнение уравнением

;

,

,

,

, .

Ответ: , .

Поиск по сайту: