 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Уравнение Бернулли
Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида 
где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.
Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку 
, с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.
Для этого разделим исходное уравнение на yn. 
Применим подстановку, учтя, что 
.
Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.
Решение этого уравнения будем искать в виде: 
Пример 10. Решить уравнение 
Решение. Разделим уравнение на xy2: 
Полагаем 
.
Полагаем 
Произведя обратную подстановку, получаем: 
Пример 11. Решить уравнение 
Решение. Разделим обе части уравнения на 
Полагаем 
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:
Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:
Получаем: 
Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ: 
Пример 12. Решить уравнение 
Решение. Разделив обе части уравнения на x2y2: 
, убеждаемся что это уравнение Бернулли, где
Заменяя функцию 
, имеем 
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
или
Т.к. одну из вспомогательных функций можно взять произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
Для нахождения второй неизвестной функции u подставим поученное выражение для функции v в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.
Тогда для отыскания u получим уравнение
Подставляя v, найдём u как общий интеграл уравнения:
Т.е. была получена вторая составляющая произведения 
, которое и определяет искомую функцию.
Подставляя полученные значения, получаем общий интеграл данного уравнения:
Пример 13. Решить уравнение
Решение. Преобразовав данное уравнение к виду
или
Выясняем, что оно является линейным, если рассматривать х как функцию от у.
Далее заменяя функцию х по формуле x=uv, где u и v функции от у, имеем
или
Т.к. одну из вспомогательных функций можно взять произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
Для нахождения второй неизвестной функции u подставим поученное выражение для функции v в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.
Подставляя v, найдём u как общий интеграл уравнения:
Второй интеграл находится по формуле интегрирования по частям
Следовательно,
Т.е. была получена вторая составляющая произведения 
, которое и определяет искомую функцию. Подставляя полученные значения, получаем общий интеграл данного уравнения:
Подставляя сюда заданные значения переменных 
, у = 1 находим значение произвольной постоянной
Следовательно, искомый частный интеграл будет
Поиск по сайту: