АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Показательные уравнения

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  3. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  4. V2: Применения уравнения Шредингера
  5. V2: Уравнения Максвелла
  6. VI Дифференциальные уравнения
  7. Алгебраические уравнения
  8. Алгебраические уравнения
  9. Алгоритм составления уравнения химической реакции
  10. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ (13)
  11. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения
  12. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения

Простейшие показательные уравнения имеют вид: .

Уравнение при и при корней не имеет, так как показательная функция всегда положительна.

Если в уравнении присутствуют показательные функции с разными основаниями, можно попытаться привести их к одному и тому же основанию. То же относится и к логарифмическим уравнениям.

  1. при , ;
  2. .
§ 2. Методы решения показательных уравнений
При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида: 1. af(x)=ag(x) или 2. af(x)=b. Очевидно, что уравнение типа 2 сводится к уравнению типа 1 с помощью основного логарифмического тождества: 2! af(x)= . Уравнение (1) равносильно уравнению f(x)=g(x) при а > 0, а ¹ 1. Этот переход называется потенцированием.
Способы решения показательных уравнений
1 тип: приведение к одному основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней: а) . Проверка: ; ; = ; б) . Решение: ; ; ; ; ; ; (х+5)(х–3)=(х+25)(х–7); х2+5х–3х–15=х2+25х–7х–175; 16х=160; х=10. Проверка: х=10. ; ; ; ; = – верно. Ответ: х=10; в) . Решение: ; ; ; ; ; x=1. Проверка: ; ; = – верно. Ответ: х=1; г) . Решение: ; ½3х–4½=4х–4, для х ³ имеем ½3х–4½=3х–4 и тогда уравнение запишем в виде 3х–4=4х–4; –х=0; х=0; для х < имеем ½3х–4½=4–3х и уравнение запишем в виде 4–3х=4х–4; –7х=–8; х= . Проверка: х=0. ; ; – не верно. х= . ; ; – верно. Ответ: х= . 2 тип – уравнения вида P(ax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Такие уравнения решаются методом подстановки: ax=y, решаем уравнение P(y)=0, находим его корни yi и потом решаем простейшее уравнение ax= yi. Пример: а) . Решение: . Обозначаем: = y; 3y2–10y+3=0; D=25–9=16; y1=3; y2= . Получаем: 1. =3; ; ; х1=2. 2. = ; ; ; х2=–2. Проверка: 1. ; 3×9–10×3+3=0 – верно. 2. ; ; – верно. Ответ: х=2; х=–2; б) . Решение: . Пусть 4х=y, y2+12y–64=0, y1,2=–6± =–6±10, y1=4; y2=–16 (п.к.), т.к. 4х > 0, 4х=4 Þ х=1. Проверка: ; 16+3×16–64=0; 16+48–64=0 – верно. Ответ: х=1; в) . Решение: , . Пусть , , , , ; ; ; ; ; ; x=20. Проверка: x=20. , – верно. Ответ: х=20. г) . Решение: . Пусть ; тогда уравнение запишем в виде ; y1,2=2 ; y1=3 и y2=1; или ; x2–1=1; x2–1=0; x= ; x=±1. Проверка: x= ; ; 9–12+3=0 – верно; х=±1; ; 1–4+3=0 – верно. Ответ: x= ; х=±1. 3 тип – метод вынесения общего множителя за скобки: а) . Решение: ; ; ; ; ; ; х=0. Проверка: ; ; 0,992=0,992 – верно. Ответ: х=0; б) . Решение: ; ; ; ; х=0. Проверка: ; 49–1+2–2=48; 48=48 – верно. Ответ: х=0; в) . Решение: ; ; ; ; ; ; х=2. Проверка: ; ; 2–8+3=–3; –3=–3 – верно. Ответ: х=2. 4 тип – уравнения вида решаются путем деления членов на или . а) . Решение: Делим на . ; . Положим , тогда имеем ; . Решаем это уравнение и получаем y1=1, y2= . следовательно: ; . Проверка: х=0; ; 3+2=5 – верно; х= ; ; 12+18=30 – верно. Ответ: х=0; х= . б) . Решение: ; . Разделим обе части данного уравнения на . ; . Пусть , тогда уравнение примет вид: ; , ; ; ; ; . Проверка: ; . Делим на . ; ; ; 6=6 – верно; ; . Делим на ; ; ; 6=6 – верно. Ответ: ; .
Логарифмические уравнения Простейшие логарифмические уравнения имеют вид:
  § 3. Методы решения логарифмических уравнений
Решение любого логарифмического уравнения также сводится к решению одного или нескольких простейших логарифмических уравнений: 1) logaf(x)= logag(x); 2) logaf(x)=b. Уравнение (2) сводится к уравнению вида (1): logaf(x)= logaab. Уравнения вида (1) сводятся к решению уравнений f(x)= g(x) (потенцирование). При этом необходимо помнить, что уравнения logaf(x)= logag(x) и f(x)= g(x) не равносильны. При потенцировании происходит расширение области определения, а значит имеется опасность появления посторонних корней. Проверка – наилучшее средство против такой опасности. 1 тип – по определению логарифма: а) . Решение: ; 2x–1=9; x=5. Проверка: ; ; ; –2=–2 – верно. Ответ: х=5. б) . Решение: ; ; ; ; х1=–1 и х2=–3. Проверка: х=–1, log3(1–4+12)=2; log39=2; 2log33=2; 2=2 – верно; х=–3, log3(9–12+12)=2; log39=2; 2log33=2; 2=2 – верно. Ответ: х=–1, х=–3. в) . Решение: ; . Пусть , тогда уравнение запишем в виде ; ; ; ; ; ; ; x=2; . Проверка: ; – верно. Ответ: х=2. 2 тип – уравнения, которые с помощью логарифмических тождеств сводятся к простейшим уравнениям: а) lg(x–3)+lg(x–2)=1–lg5. Решение: lg[(x–3)(x–2)]=lg10–lg5; lg(x2–5x+6)=lg2; x2–5x+6=2; x2–5x+4=0; x1,2= ; x=4 и х=1. Проверка: х=4; lg(4–3)+ lg(4–2)=1– lg5; lg1+ lg2= lg2; lg2= lg2 – верно; х=1; lg(1–3)+ lg(1–2)¹1– lg5, так как выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть всегда положительным. Ответ: х=4; б) . Решение: ; ; 2 lg(4(х–3))= lg(3(7х+1)(х–6)); lg(4(х–3))2= lg(3(7х+1)(х–6)). Потенцируем: 16х2–96х+144=21х2–123х–18; –5х2+27х+162=0; 5х2–27х–162=0; х1,2= ; х1=9; х2= . Проверка: х=9; ; ; – верно; х= ; – ложно, так как подлогарифмическое выражение не может быть отрицательным. Ответ: х=9; в) . Решение. Воспользуемся формулой ; ; ; ; x=27. Проверка: ; ; – верно. Ответ: х=27; г) . Решение: . Потенцируем: (3х–11)(х–27)=1000; 3х2–92х–703=0. х1,2= ; х1=37 и х2= . Проверка: 1. ; ; = – верно. 2. , так как выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительное. Ответ: х=37. 3 тип – уравнения вида P(logax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Эти уравнения решаются с помощью подстановки: y= logax. а) . Решение: . Пусть ; y2–2y–3=0. Решаем уравнение и получаем y1=3 и y2=–1; y=3 Þ Þ х=27; y=–1 Þ Þ х= . Проверка: х=27; ; ; 9–6–3=0 – верно; х= ; ; ; 1+2–3=0 – верно. Ответ: х=27; х= ; б) . Решение. Прежде всего надо иметь в виду, что если в уравнениях встречаются логарифмы с разными основаниями, то их надо привести к одному основанию с помощью формулы: . В данном случае переходим к основанию 5. ; . Обозначим ; (1+2y)y=1; 2y2+y–1=0; y1=–1, y2= ; или ; х= ; х= . Проверка: 1) ; ; 1=1 – верно; 2) ; ; ; 1=1 – верно. Ответ: х= ; х= . 5 тип – логарифмирование обеих частей уравнения. Пример: . Решение: ; (lgx+1)lgx=3–lgx; lg2x+lgx=3–lgx; y=lgx; y2+2y–3=0. Решаем уравнение: y1=–3; y2=1; lgx=–3 или lgx=1, x=10–3; x=10. Проверка: 1) ; ; ; 106=106 – верно; 2) ; 102=100; 102=102 – верно. Ответ: х=10–3; х=10.

 

 


Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)