АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод вариации постоянной для нахождения решения неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка

Читайте также:
  1. C) размах вариации
  2. Cоздание массивов постоянной длины
  3. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  4. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  5. I I. Тригонометрические уравнения.
  6. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  7. I. 1.2. Общая постановка задачи линейного программирования
  8. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  9. I. 3.1. Двойственная задача линейного программирования
  10. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  11. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  12. I. Метод рассмотрения остатков от деления.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) решения неоднородного уравнения. Принципиально то, что этот метод работает, если известна фундаментальная система решений линейного уравнения. Основную идею этого метода изложим для самого простого случая неоднородного уравнения второго порядка

; (1)

Пусть y 1(x), y 2(x) - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

; (2)

y оо(x) = C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) - общее решение однородного уравнения (2). Идея метода Лагранжа состоит в следующем. Ищем общее решение неоднородного уравнения (1) в том же виде y (x)= C 1(x) y 1(x) + C 2(x) y 2(x), предполагая, что постоянные C 1, C 2 - не постоянные, а функции, зависящие от x: C 1 = C 1 (x), C 2 = C 2(x). Мы должны найти эти функции. Находим производную :

.

Дальше надо вычислять вторую производную. Воспользуемся тем обстоятельством, что вместо одной функции y (x) мы ищем две функции C 1 (x) и C 2(x), и, как следствие, можем наложить произвольную связь на эти функции. Для того, чтобы в выражении для второй производной не участвовали вторые производные функций C 1 (x) и C 2(x), в качестве этой связи положим

; (3)

Тогда . Подставляем выражения для y (x) и её производных в уравнение (1):

Преобразуем:

Выражения в квадратных скобках раны нулю, так как функции y 1(x), y 2(x) - решения однородного уравнения (2), поэтому окончательно

; (4)

Уравнения (3),(4) дают замкнутую систему для функций и :

(5)

определитель этой системы совпадает с вронскианом функций y 1(x), y 2(x) и поэтому отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение , . Находя это решения и интегрируя выражения производных для и , получим C 1 (x) и C 2(x), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (1) y (x) = C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x).


1 | 2 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)