Теорема Куна-Таккера. Локальные условия Куна-Таккера

f (x , x ,..., x )

g (x , x ,..., x ) , i=

x , j=

L(X,Y)=f(x)+

Можно сформулировать теорему Куна-Таккера или теорему о седловой точке.

, - условие регулярности.

Если функция f(x) и g (x), i= дифференцируемые функции, то можно сформулировать локальное условие Куна-Таккера:

| (X

x | (X

x

| (X

| (X

, i=

1. Динамическое программирование. Метод функционального программирования. Задача распределения ресурсов.

Оптимальное решение находилось только на этапе планирования. Такие задачи часто называют одноэтапными или одношаговыми. В динамических же находится ряд оптимальных решений, обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом.

Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе с целью влияния на ход процесса.

Пусть есть средства, которые надо вложить в развитие 2-х неоднородных предприятий. Известно, что если в 1-ое предприятие вложить y средств, а во 2-ое (x-y) средств, то доход соответственно составляет: g(y) и h(x-y)

Необходимо так выбрать величину y, чтобы общий доход W был максимальным W .

На одном этапе доход W .Пусть g и h непрерывны, тогда максимум существует всегда.

Величина W определяет величину возможного максимального дохода в одноэтапном процессе. Просмотрим двухэтапный процесс. Предположим, что за счет издержек. необходимых для получения дохода g(y), первоначальное количество средств y уменьшилось до величины

Аналогично, первоначальное количество средств (x-y), вложенных во вторую отрасль, уменьшилось до величины b(x-y), , за счет издержек, требующихся для получения дохода h(x-y). Таким образом, после осуществления одноэтапного процесса, остаток средств составляет ay+b(x-y).

Повторим процесс распределения суммарного остатка, полагая, что ay+b(x-y)=x . В результате этого распределения на втором этапе получим доход W

Полный доход в данном случае составляет:

W=W

Максимальный суммарный доход получим при максимизации функции W относительно y и y в двумерной области, опред-й этими неравенствами и .

Рассмотрим N-этапный процесс, в котором операция распределения повторяется последовательно N-раз.

Полный доход от этого процесса W вычисляется по формуле:

W(x,y,y .

x

x

...................................................

x ,

0

Таким образом, получили, что надо максимизировать функцию N переменных в некоторой области. Максимальное значение полного дохода зависит от N;x. Поэтому определим функцию f как максимальный доход, полученный от N-этапного процесса, который начинается с величины x .

f .

Тогда, исходя из условия задачи для одноэтапного процесса, получаем функциональное уравнение:

f

Для 2-х этапного процесса выражаем f через f .

Если y выбрана оптимально, то в результате начального распределения y от второго этапа получим доход f следующим образом:

f (g(y)+h(x-y)+f

Рассуждая, аналогично, в случае N- этапного процесса, получаем основное функциональное уравнение:

f

При этом, на каждом этапе вычисления мы получаем не только f но и y так как распределение исходной величины x в начале k-го этапа было оптимальной.

Таким образом, мы привели задачу N-мерной оптимизации последовательности из N-одномерных задач.

1. Теория игр. Цена игры. Седловая точка игры.

Математическая теория конфликтных ситуаций. В теории игр нас интересует стратегия, с помощью которой достигается выигрыш, максимальная возможность в данной ситуации. Основное содержание теории игр состоит в изучении следующей проблемы: если n-партнеров p ,p ,...,p играют в данную игру G, то как должен вести партию i-ый игрок для достижения наиболее благоприятного для себя исхода. Под термином «игра»понимают совокупность предварительно оговоренных правил и условий игры, а термин «партия» связан с частной возможностью реализации этих правил.

В дальнейшем предполагается, что в конце каждой партии игрок P получает сумму очков V , называемую выигрышем.V может быть: 0, 0, = 0. Если сумма всех V =0, то такая игра называется игрой с нулевой суммой (выигрыш за счет других).

; * - индекс пробегает все возможные значения.

- наилучшая стратегия, дающая гарантированный выигрыш.

,

- нижняя цена игры.

- max-min стратегия.

=

- гарантированный проигрыш.

- верхняя цена игры.

- min-max стратегия.

Если , то это устойчивая игра. Если игроки не будут придерживаться этих чистых стратегий, то это хуже для них.

Если = , то это называется чистая цена игры.

Игрой с полной информацией называется игра, в которой каждый игрок при каждом своем ходе знает перечень предыдущих ходов (своих и противника).

Игра с полной информацией имеет седловую точку, которой соответствует решение в чистых стратегиях A , B .

Такая игра всегда заканчивается с известной информацией, равной цене чистой игры.

1. Теория игр. Игра в смешанных стратегиях.

Математическая теория конфликтных ситуаций. В теории игр нас интересует стратегия, с помощью которой достигается выигрыш, максимальная возможность в данной ситуации.

Основное содержание теории игр состоит в изучении следующей проблемы: если n-партнеров p ,p ,...,p играют в данную игру G, то как должен вести партию i-ый игрок для достижения наиболее благоприятного для себя исхода. Под термином «игра»понимают совокупность предварительно оговоренных правил и условий игры, а термин «партия» связан с частной возможностью реализации этих правил. В дальнейшем предполагается, что в конце каждой партии игрок P получает сумму очков V , называемую выигрышем.V может быть: 0, 0, = 0. Если сумма всех V =0, то такая игра называется игрой с нулевой суммой (выигрыш за счет других).

Введем понятие оптимальной смешанной стратегии.

M(X,Y)=XGY=

X=(x , x ,..., x ) - произвольные смешанные стратегии.

Y=(y , y , …, y )

;

0 ; 0

Поиск по сайту: