Т е м а 3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

3.1. Объемная плотность заряда полупространства имеет периодическую структуру , где постоянный вектор образует с осью z отличный от нуля угол. Найти потенциал электрического поля в каждой точке пространства.

Решение: Потенциал

(1)

является решением уравнений

, (где )

с дополнительными условиями

, (2)

, (3)

Последние два условия вытекают из того, что точечные и линейные заряды отсутствуют, а полный заряд равен нулю. Так как

,

задача допускает разделение переменных:

где последнее слагаемое потенциала является частным решением уравнения Пуассона. Функции и (i=1, 2) удовлетворяют одному и тому же уравнению:

,

в котором . Принимая во внимание условие (3), находим

.

Постоянные множители a_i, b_i (i=1, 2) определяются из граничных условий (2), так что

,

.

3.2. Вывести закон Ленгмюра для плоского вакуумного диода:

j=kU^3/2,

где j — величина плотности тока, U — напряжение между анодом и катодом, k — коэффициент пропорциональности, зависящий от l — расстояния между катодом и анодом, e, m — заряда и массы электрона. Считать, что сила тока далека от насыщения. начальная скорость электронов равна нулю.

3.3. Определить потенциал и напряженность электрического поля на оси тонкого диска радиуса R, равномерно заряженного с поверхностной плотностью . Убедиться, что на большом расстоянии от диска найденный потенциал совпадает с кулоновским, а при переходе через поверхность диска напряженность электрического поля удовлетворяет необходимому граничному условию:

.

3.4. Вычислить напряженность поля и потенциал , создаваемый длинным прямым проводником радиуса а, равномерно заряженным с плотностью заряда .

3.5. Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена с плотностью . Найти потенциал и напряженность электрического поля внутри и вне плиты. Задачу решить двумя способами:

а) используя теорему Гаусса;

б) используя общее решение уравнения Пуассона.

Поиск по сайту: