Уравнение Шредингера. 2.1 Описание распределения амплитуд вероятности волновой функцией

2.1 Описание распределения амплитуд вероятности волновой функцией

В классической физике механическое движение означает изменение координат частиц со временем. В квантовой механике движение означает изменение амплитуд вероятности со временем. Это означает, что амплитуды вероятности должны быть функциями времени: Y=Y(t). Простейшим законом изменения амплитуд со временем является закон изменения амплитуды вероятности в состоянии с определенной энергией или, говоря иначе, в стационарном состоянии. Как выше было получено –

. (15)

Проще не бывает.

При описании движения частицы в пространстве надо задать амплитуду вероятности в каждой точке. Например, частица совершает одномерное движение. В каждой точке x должно быть определено значение амплитуды вероятности. Это означает, что Y=Y(x). Но, как выше было заявлено, должна быть еще зависимость от времени. Поэтому, как минимум, амплитуда вероятности должна быть функцией двух переменных: Y=Y(x, t).

Для примера, амплитуды вероятности, описывающие свободное движение не взаимодействующей ни с чем частицы выглядят так:

. (16)

Вероятность застать частицу в точке x в момент времени t, в соответствии со смыслом амплитуды вероятности равна

. (17)

Как видно, вероятность не зависит ни от времени, ни от координат. Как масло равномерно размазана по всему пространству. Но вероятность не может быть больше 1, значит, по всему пространству равномерно размазана единица. Слой масла бесконечно тонкий.

В старые времена функцию, описывающую распределение амплитуд вероятности в любой момент времени, назвали волновой функцией, т.е. Y=Y(x, t) является волновой функцией частицы, совершающей одномерное движение.

2.2 Уравнение движения амплитуд вероятности

Точно так же, как в классической механике второй закон Ньютона (дифференциальное уравнение второго порядка) является уравнением движения, в квантовой механике есть уравнение, описывающее изменение волновой функции (движение амплитуд вероятности). Простейшим является уравнение движения амплитуды вероятности покоящейся частицы. Его решение мы уже знаем: . Эта функция удовлетворяет уравнению

. (18)

Решением этого уравнения является формула (16).

В более сложных ситуациях волновая функция зависит, по крайней мере, от двух переменных, поэтому дифференциальное уравнение движения содержит частные производные. Уравнение движения свободной частицы выглядит посложнее, чем (18):

iћ =– . (19)

Это знаменитое уравнение Шредингера для свободной частицы. Функция Y(x, t) дает распределение амплитуд вероятности по координатам в данный момент времени t. Надо иметь в виду, что она дает значения амплитуд сразу во всех координатах. Понятно, квадрат ее модуля теперь не может равняться вероятности застать частицу в той или иной точке, так как вероятность застать частицу в определенной точке точно равна нулю. Можно только определить бесконечно малую вероятность застать частицу в пространственном интервале длиной dx. Так что вероятность застать частицу в момент времени t в интервале (x, x+dx) равна квадрату модуля волновой функции в точке x, умноженному на длину интервала dx:

P (x, x+dx)= | Y(x, t) | ²dx. (20)

Это означает, что квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности застать частицу в той или иной точке.

Поиск по сайту: