АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Применение уравнения Шредингера. Свободная частица

Читайте также:
  1. Aufgabe 4. Везде ли нужна частица “zu”?
  2. I I. Тригонометрические уравнения.
  3. I. ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ
  4. I. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим.
  5. II. Однородные уравнения.
  6. III. Дифракция Фраунгофера на мелких круглых частицах.
  7. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  8. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  9. V2: Применения уравнения Шредингера
  10. V2: Уравнения Максвелла
  11. VI Дифференциальные уравнения
  12. Алгебраические уравнения

Как выше было установлено, уравнение Шредингера для волновой функции свободной частицы массы m имеет вид (8). По заведенному порядку, выясним, что собой представляют стационарные состояния. В стационарном состоянии все амплитуды вероятности изменяются со временем синхронно с частотой E/ћ. Это значит, что волновая функция в стационарном состоянии должна зависеть от времени по закону:

Y(x, t)=y(x)×exp{–i }. (22)

Подстановка его в (19) дает стационарное уравнение:

Ey=– . (25)

Поскольку предэкспонента y зависит только от x, постольку частная производная заменена на обыкновенную. Перепишем уравнение (25) несколько иначе:

+ y=0. (26)

Можно заметить, что математическое содержание уравнения (26) совпадает с содержанием уравнения движения гармонического осциллятора:

+w y=0, (27)

где u – отклонение гармонического осциллятора от положения равновесия, w – квадрат собственной частоты. Как известно, частными решениями уравнения движения гармонического осциллятора являются две экспоненты: u(t)=a×exp{±iw0t} (обычно, при описании движения классического осциллятора берут комбинацию этих двух решений, которая дает действительный косинус). В уравнении (26) роль времени играет пространственная координата, а роль квадрата собственной частоты – квадрат пространственной частоты k или волнового числа:

k2= . (28)

На значение энергии стационарного состояния пока не налагалось никаких условий, поэтому волновое число k – произвольная величина.

Решениями уравнения (26) являются функции:

и . (29)

Таким образом, полные волновые функции, описывающие стационарные состояния свободной частицы, оказываются следующими:

Y1(x, t)=a×exp{i(kx– )}, Y2(x, t)=a×exp{–i(kx+ )}. (30)

Функция Y1 описывает волну, бегущую в положительном направлении оси OX, а Y2 – волну, бегущую в отрицательном направлении.

Вернемся к уравнению (28). Оно дает правило определения энергии стационарного состояния:

E= . (31)

Классическая формула!

Можно сделать вывод, что стационарное состояние свободной частицы являются не только состоянием с определенным значением энергии, но и состоянием с определенным значением импульса.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.207 сек.)