АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Система однородных линейных алгебраических уравнений

Читайте также:
  1. A) прогрессивная система налогообложения.
  2. C) Систематическими
  3. ERP и CRM система OpenERP
  4. I Понятие об информационных системах
  5. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  6. I. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К СИСТЕМАМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ
  7. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  8. I. Суспільство як соціальна система.
  9. I.2. Система римского права
  10. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  11. II. Органы и системы эмбриона: нервная система и сердце
  12. III. Органы и системы эмбриона: пищеварительная система

 

Важное место среди всех систем линейных алгебраических уравнений занимают однородные системы с произвольными и :

 

 

Данные системы всегда совместны, так как обязательно имеют решение вида , которое называется нулевым или тривиальным.

Если , то, согласно теореме 1.1, это решение будет единственным. В частности, в случае однородной невырожденной квадратной системы ее единственное решение будет тривиальным.

В случае, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то решений, согласно теореме 1.2, будет бесконечное множество. Пусть в этом случае матрицы - столбцы , ,..., являются некоторыми решениями системы:

 

, ,..., .

 

Тогда выражение будет называться их линейной комбинацией. Очевидно, что можно ввести понятие линейно зависимой и линейно независимой системы этих решений. Необходимо иметь в виду, что линейная комбинация решений системы линейных алгебраических уравнений также будет ее решением. Действительно,

 

.

 

Теорема. Если ранг матрицы однородной системы линейных алгебраических уравнений меньше числа неизвестных, то есть , то существует линейно независимых решений системы , ,..., , а любые другие решения можно представить как их линейную комбинацию.

Доказательство. Пусть ранг основной матрицы системы . Тогда базисными неизвестными будут , а остальные неизвестных будут свободными. В этом случае произвольное решение системы можно записать в виде:

 

.

 

Здесь – произвольные числа, а однозначно определяются из системы для выбранных .

Рассмотрим следующих решений системы:


, ,..., .

 

По аналогии с результатом п. 6.3 все они линейно независимы, и произвольное решение системы можно представить в виде:

 

,

 

что и требовалось доказать.

Определение. Фундаментальной системой решений однородной системы линейных алгебраических уравнений называется совокупность всех ее линейно независимых решений.

Если в фундаментальной системе решений свободные неизвестные по очереди выражаются через единицу, в то время как остальные равны нулю, то такая фундаментальная система решений называется нормированной.

 


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)