Поворот

Перенос

Трехмерный перенос является простым расширением двумерного:

Масштабирование

Расширяется аналогичным образом:

или

Поворот

Двумерный поворот, рассмотренный ранее, является в то же время трехмерным поворотом вокруг оси Z:

Матрица поворота вокруг оси X:

1. Θ ₁ - поворот вокруг оси Z до совмещения с плоскостью XZ.

2. Θ₂ -

Композиции трехмерных преобразований

Как и в случае двумерных преобразований, работая с трехмерными можно выполнять более сложные действия путем комбинации элементарных раций. Ниже рассмотрен пример преобразования трехмерного отрезка (рис. 2.7)

Необходимо преобразовать отрезок P₁P₂ из начальной позиции в конечную таким образом, чтобы точка Р₁ совпала с началом координат, а отрезок P₁P₂ рас­полагался вдоль отрицательной полуоси Z. На длины отрезков преобразование не воздействует.

Для решения этой задачи следует выполнить три шага:

1) перенос точки Р₁ в начало координат (рис. 2.8):

2) поворот вокруг оси У до совмещения отрезка P₁P₂ с плоскостью YZ (рис. 2.9)

3) поворот вокруг оси X до совмещения отрезка P₁P₂ с отрицательной полу­осью Z (рис. 2.10).

Матрица преобразования при переносе точки P₁ в начало координат имеет вид:

Применим преобразование переноса к точкам P_1,P_2, P₃.

При повороте вокруг оси У на угол Θ (угол положительный) (см. рис. 2.9) опре­деляется:

Где

Подставляя эти выражения в матрицу поворота, находим

Поворот вокруг оси X на угол φ (угол отрицательный) (см. рис. 2.10) выража­ется:

где

Общий результат поворота после выполнения трех действий:

Рассмотренное преобразование множества точек, принадлежащих объекту, в не­которое другое множество точек производилось в одной и той же системе коорди­нат. Таким образом, система координат остается неизменной, а сам объект преоб­разуется относительно начала координат до получения желаемого результата

Другим способом описания преобразования является смена систем координат. Такой подход оказывается полезным, когда желательно собрать вместе много объ­ектов, каждый из которых описан в своей собственной локальной системе коорди­нат (ЛСК), и выразить их координаты в одной глобальной (ГСК). Положение точки, заданной в одной системе координат (СК), можно описать в любой другой СК (рис. 2.11).

Точка Р имеет следующие координаты в разных С К:

· в первой СК — Р₁(10; 8);

· во второй СК — Р₂(6; 6);

· в третьей СК — Р₃(8; 6);

· в четвертой СК — Р₄(4; 2)

Преобразователи СК имеют вид:

· из первой СК во вторую СК; T₁₂=T(-4,-2);

·

· из третий СК в четвертую СК; T₃₄=T(-6,-2)*R(-45°);

Таким образом, существуют три способа преобразования объектов:

·

Рис. 2.13. Преобразование объектов из локальной СК в глобальную СК

□ каждый объект задан в собственной локальной СК и затем преобразуется в глобальную СК (рис. 2.13)

□ происходит преобразование систем координат с помощью определения новой глобальной СК относительно локальной СК (рис. 2.14).

Таким образом, можно проводить преобразования как самих объектов, так и сис­темы координат, в которой они описаны.

Поиск по сайту: