Монотонність

Функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає біль­ше значення функції. Функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції.

Якщо функція на всій області визначення зростає або на всій області визначення спадає, її називають монотонною. Якщо ж функція зростає на деякому проміжку або спадає на ньому, то говорять, що вона монотонна на даному проміжку. Наприклад, монотонною є функція у = 5х - 3, вона на всій області визначення зростає (мал. 25). Функція у=4-х² монотонна на проміжку (-∞; 0), на якому зростає, і на проміжку (0; -∞), на якому спадає. На всій області визначення вона не монотонна (мал. 26).

Характеризуючи властивості функції, часто зазначають також, у яких точках вона має найбільше значення, у яких - найменше. Наприклад, функція у = 4 - х², задана на проміжку [-1; 3], у точці х = 0 має найбільше значення 4, а в точці х = 3 – найменше значення, яке дорівнює -5 (мал. 27).

Графік функції складається з двох роз'єднаних віток (мал. 28). При х = 0 значення цієї функції не існує. Кажуть, що в точці х = 0 вона має розрив. Якщо графіком функції є неперервна лінія (її можна провести, не відриваючи олівець від паперу), то таку функцію називають неперервною функцією. Приклади неперервних функцій подано на малюнках 25-27. А на малюнках 29 і 30 зображено графіки функцій, які мають розрив у точці х = 1. Вони не є неперервними в цій точці.

Деякі з властивостей функцій досить просто з'ясовувати, дивлячись на її графік. Наприклад, функція, графік якої зображено на малюнку 31, має такі властивості.

1) Область визначення D(y) = [-2; 24].

2) Область значень Е(у) = [-2; 4].

3) Парність. Функція ні парна, ні непарна.

4) Точки перетину графіка функції з віссю у. Одна точка - (0; 1).

5) Нулі функції та проміжки знакосталості. Функція має два нулі: х₁ = 2 і х₂ = 9. f(x) > 0, якщо , a f(x) < 0, якщо х є (2; 9).

6) Монотонність. Функція спадає на двох проміжках х є (-2; 6) і x є (18; 24); зростає функція на одному проміжку х є (6; 18).

7) Функція неперервна. Має найбільше значення у = 4 і най­менше значення у = -2.

Поиск по сайту: