Корректность по Адамару

V. КОРРЕКТНОСТЬ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

Всё не так просто, как кажется.

И даже просто не так.

Алекс Алдер

Корректность по Адамару

Определение. Пусть и линейные пространства. Линейный оператор называется обратимым, если уравнение имеет единственное решение. Совокупность всех векторов , для каждого из которых существует вектор , такой, что , называется образом оператора A (множеством значений оператора A) и обозначается или .

Совокупность всех векторов , на которых оператор A определён, называется областью определения оператора A и обозначается или .

Если оператор A обратим, то каждому вектору сопоставляется единственный вектор , являющийся решением уравнения . Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к A и обозначается .

Если существует обратный оператор , то решение задачи записывается в явном виде: . То есть необходимо найти элемент ,если задан элемент . Ясно, что важное значение приобретает выявление условий, при которых обратный оператор существует.

Комментарий. Множество значений оператора есть линейное многообразие в . В самом деле, пусть и .Тогда найдутся векторы ,такие, что Ax₁=y₁ и Ax₂=y₂. Поэтому для любых чисел верно, что , то есть вектор . Ясно, что .

Теорема 1. Пусть оператор линеен и существует . Тогда тоже линеен. Для произвольных обозначим . Тогда Теперь .

Определение. Ядром оператора называется множество . Очевидно, что не пусто, так как .

Определение. Оператор называется вырожденным, если .

Теорема 2. Пусть и линейные конечномерные пространства, а оператор линейный. Обратный оператор существует тогда и только тогда, когда оператор невырожденный.

Достаточность. Пусть оператор невырожденный, т.е. (нуль-пространство, ядро оператора тривиально). Тогда для любых двух элементов имеем
, то есть оператор взаимно однозначный,а значит, существует обратный оператор .

Необходимость. Пусть оператор имеет обратный оператор . Заметим, что линейный оператор (теорема 1) и докажем что невырожденный. Пусть это не так, то есть существует такой, что . Тогда . Полученное противоречие показывает, что , то есть оператор невырожденный.

Комментарий. В доказательстве теоремы не участвует размерность пространства. Однако, она верна только в конечномерном случае, то есть в конечномерном пространстве оператор обратим, если и только если .В бесконечномерном пространстве это, вообще говоря, не так. Например, множество всех ограниченных последовательностей с операциями покоординатного сложения и умножения на скаляр образует линейное пространство. Определим на нём оператор сдвига . Ясно, что ( только при ). Однако этот оператор не имеет обратного. В самом деле, пусть оператор существует и . Рассмотрим вектор . Тогда . Но первая координата вектора всегда равна нулю, а должна быть единица.

Нас интересует не только разрешимость уравнения , но и непрерывная зависимость решения от правой части уравнения, то есть корректность уравнения. Теорема 3. Критерий непрерывности обратного оператора. Пусть и линейные нормированные пространства. Оператор существует и непрерывен на если и только если ивыполняется неравенство . . Необходимость. Пусть обратный оператор существует и ограничен на . Тогда существует такая постоянная , что . Обозначая и , сразу получаем .

Достаточность. Из того, что следует, что уравнение имеет единственное решение . В самом деле, пусть . Тогда , то есть , то есть . Тогда из теоремы 2 следует существование обратного оператора . Полагая в этом неравенстве , сразу получим .

Определение 3. Пусть и линейные нормированные пространства Оператор А называется непрерывно обратимым, если , причём , .

Определение 4. Если и метрические пространства и , то об операторной устойчивости уравнения говорят, если . Для линейных нормированных пространств уравнение устойчиво, если .

Определение 5. Задача решения уравнения корректно разрешима по Адамару, если

1. Уравнение имеет единственное решение для любой правой части у;

2. Решение того же уравнения с возмущённой правой частью таково, что . Это означает, что малое изменение правой части y влечет малое изменение решения.

Комментарий. Если линейный оператор А непрерывно обратим, то задача решения уравнения корректно разрешима по Адамару.

Теорема 4. ( теорема Банаха о гомеоморфизме.) Пусть , где –биективный непрерывный линейный оператор, банаховы пространства и , то существует линейный непрерывный обратный оператор .

Комментарий. Два топологических пространства называются гомеоморфными, если существует взаимно однозначное непрерывное отображение любого из них на другое, для которого обратное отображение тоже непрерывно, при этом само отображение называется гомеоморфизмом.

Из биективности отображения следует однозначная разрешимость уравнения для любой правой части, то есть существование обратного оператора . Его линейность следует из теоремы 1. Непрерывность же обратного оператора следует из принципа открытых отображений Банаха: оператор , как непрерывный оператор, любое открытое множество переводит в открытое. Тогда для оператора его прообраз открыт. Тогда, в соответствии с критерием непрерывности, оператор непрерывен.

Таким образом, если – биективный непрерывный линейный оператор, такой, что , где - банаховы пространства, и , то задача решения уравнения корректно разрешима по Адамару.

Поиск по сайту: