Корректность по Фикера. Замкнутость

Комментарий. Замкнутость можно сравнить с выравниванием линии фронта, то есть с отступлением от корректной разрешимостипо Адамару на заранее подготовленные позиции.

Определение 1. Линейный оператор А, действующий из банахова пространства в банахово пространство , называется замкнутым, если для любой последовательности и такой, что эта последовательность одновременно с последовательностью , элемент .

Комментарий. Из определения следует, что если , то непрерывный линейный оператор всегда замкнут (НЛО всегда ЗЛО: “теорема о пришельцах”). Обратное, вообще говоря, неверно. То есть существуют замкнутые линейные операторы с областью определения, плотной в X, которые не являются непрерывными.

Пример. Покажем, что оператор дифференцирования не ограничен, если действует из в .

Рассмотрим операторное уравнение в пространствах . Пусть оператор дифференцирования действует из в , то есть операторное уравнение имеет вид . Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную. Вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве.

В пространстве норма .Возьмем из последовательность . Она ограничена в : . Рассмотрим . Тогда . Таким образом, оператор переводит ограниченное множество в неограниченное, то есть этот оператор не является ограниченным. Такая же ситуация с последовательностью . В норма , а . Тогда , то есть оператор дифференцирования не ограничен, то есть не является непрерывным. Это значит, что прямая задача некорректна на данной паре пространств .

Но если в пространстве исходных данных выбрать более сильную норму, то ситуация изменится.

Рассмотрим пространство как пространство , а пространство как пространство . Тогда Теперь и задача дифференцирования стала корректной, но на паре пространств .

На паре пространств оператор дифференцирования является замкнутым, если область его определения есть . Действительно, пусть последовательность в , . Тогда последовательности и сходятся равномерно на сегменте и работает теорема о почленном дифференцировании последовательности функций. Отсюда , то есть функция принадлежит области определения оператора и . Но это и означает замкнутость оператора .

Комментарий. Заметим, что хотя на паре пространств прямая задача дифференцирования корректна, обратная не корректна, так как оператор является вырожденным. Его ядро нетривиально и состоит из функций . Чтобы найти , нужно для любой функции решить уравнение . Но первообразная непрерывной функции определяется с точностью до постоянной - элемента из оператора . Поэтому обратный оператор не существует. Для того чтобы он существовал, то есть задача стала корректной, надо поставить задачу Коши. Определим, например, оператор на подпространстве непрерывно дифференцируемых функций , удовлетворяющих условию . Решение этой задачи Коши есть , тогда .

Определение 2. Прямым произведением линейных пространств и называют множество всех упорядоченных пар , , причём . произвольное число.

Комментарий. Нетрудно видеть, что линейное пространство. Если и нормированные пространства, то нормированное пространство с нормой .

Определение 3. Пусть оператор действует из банахова пространства в банахово пространство . Графиком оператора называется множество пар , то есть .

Определение 4. Пусть линейное многообразие пространства . График оператора замкнут, если из того, что следует, что , а .

Таким образом, линейный оператор , действующий из в банахово пространство , замкнут, если его график есть замкнутое линейное подпространство пространства .

Теорема1. Пусть , где А – замкнутый линейный оператор, имеющий обратный оператор . Тогда также является замкнутым.

График оператора может быть получен из графика оператора А путем ''перестановки" точек: это одни и те же точки.

Пример (продолжение). Посмотрим теперь на оператор дифференцирования как на обратный к оператору интегрирования , заданному на паре пространств . Равномерно сходящуюся последовательность функций всегда можно почленно интегрировать, то есть и оператор интегрирования непрерывен. Тогда по “теореме о пришельцах” он замкнут. Обратным к нему является оператор дифференцирования, который замкнут согласнотеореме1.

Комментарий. Почти очевидно, что банахово пространство, если и только если и банаховы.Если , то НЛО всегда ЗЛО. Когда верно обратное?

Теорема2. (теорема Банаха о замкнутом графике). Пусть , где линейный оператор , отображающий всё банахово пространство на всё банахово пространство , имеет замкнутый график. Тогда - линейный непрерывный оператор.

1. Покажем, что есть подпространство . Пусть и . Тогда их линейная комбинация Поскольку А – ЗЛО по условию, то замкнут в , то есть это подпространство.

2. На подпространстве (замкнутое подпространство банахова пространства само является банаховым пространством) рассмотрим оператор проецирования , действующий по правилу . Это линейный оператор, так как Таким образом, оператор биективно отображает банахово пространство на банахово пространство . Покажем, что он непрерывен: . Тогда по теореме Банаха о гомеоморфизме существует непрерывный линейный обратный оператор : то есть . Тогда линейный непрерывный оператор.

Комментарий. Для оператора , отображающего всё банахово пространство на всё банахово пространство , понятия замкнутости и непрерывности совпадают. Выясним, при каких условиях эти понятия совпадают, если .

Теорема3(Критерий замкнутости линейного оператора) Пусть , где пространства и банаховы.Линейный непрерывный оператор А замкнут, если и только если множество замкнуто.

Необходимость. Пусть оператор НЛО и множество замкнуто. Покажем, что замкнут. Рассмотрим последовательность . Так как множество замкнуто, , а из того, что оператор непрерывен, следует, что , что и означает замкнутость оператора .

Достаточность. Пусть оператор НЛО и замкнут. Покажем, что множество замкнуто. Пусть , , а - предельная точка . Тогда , то есть последовательность фундаментальна. Так как пространство банахово, то последовательность , а из замкнутости оператора следует, что .

Теорема 4 (Фикера) Критерий разрешимости уравнения . Пусть , где пространства и банаховы, оператор А биективный НЛО, причём , а . Тогда если и только если .

Необходимость. Пусть . Так как оператор НЛО и множество замкнуто, то по теореме 3 оператор замкнут. Тогда по теореме 1 оператор , существующий в силу биективности оператора , тоже замкнут и непрерывен по условию. Но . Тогда по теореме 3 множество замкнуто, то есть .

Достаточность. Пусть . Тогда линейный непрерывныйоператор А отображает всё банахово пространство на банахово пространство , то есть по теореме Банаха о гомеоморфизме оператор непрерывен, то есть .

Комментарий. Если оператор обратим, то операторная устойчивость задачи, то есть существование ограниченного обратного оператора , равносильно замкнутости множества . Если множество не замкнуто, то оператор разрывен. Если оператор разрывен, множество не замкнуто.

Определение 5. Задача решения уравнения корректно разрешима по Фикера, если множество значений оператора замкнуто.

Комментарий. Замкнутое подмножество банахова пространства есть банахово пространство, то есть для замкнутых операторов множества и становятся банаховыми пространствами и на них восстановлены все условия корректности по Адамару. Это и называется корректностью по Фикера.

Определение 6. Говорят, что незамкнутый оператор А допускает замыкание , если его можно расширить до замкнутого оператора по правилу верно, что .

Можно показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы .

Определение 7. Задача решения уравнения обобщённо разрешима, если оператор допускает замыкание. Решения уравнения называют обобщенными решениями уравнения .

Пример. Оператор незамыкаем как фунционал на непрерывно дифференцируемых функциях на .Действительно, последовательность равномерно на , а последовательность .

Если операторное уравнение неразрешимо, потому что оператор не допускает замыкания, то это уравнение в гильбертовом пространстве заменяется на нормальное уравнение . Это уравнение мы рассмотрим ниже. Можно показать, что нормальный оператор допускает замыкание.

Поиск по сайту: