|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Корректность компактных операторов
Определение. Линейный оператор , отображающий банахово пространство в себя (или другое банахово пространство), называется компактным (вполне непрерывным), если каждое ограниченное множество он переводит в предкомпактное. Комментарий. Напомним, что множество метрического пространства компактно, если из любого бесконечного его подмножества можно выделить последовательность, сходящуюся к элементу из , и предкомпактно, если замыкание компактно. Если линейный оператор компактен, то он переводит любую ограниченную последовательность в компактную последовательность , то есть из любой подпоследовательности последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Компактность и предкомпактность это, прежде всего, свойства пространств. Суть компактности в исчерпываемости некого бесконечномерного пространства конечномерным приближением с любой наперед заданной точностью. Компактный оператор наследует свойства конечномерного оператора в том смысле, что всегда может быть приближен им.
Теорема1. Компактный оператор всегда ограничен. . Пустькомпактный оператор не ограничен. Тогда найдется последовательность , такая, что . Но тогда из неё нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, что противоречит тому, что вполне непрерывный оператор. Комментарий. Не любой непрерывный линейный оператор вполне непрерывен.Рассмотрим, например, единичный оператор . Он, очевидно, ограничен, но не компактен. Покажем это. В пространстве существует бесконечная ортонормированная система (ОНС) , такая, что . Ясно, что последовательность лежит на сфере , то есть она ограничена, но из неё нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как . То есть единичная сфера в гильбертовом пространстве– замкнутое и ограниченное множество, но не компакт, а . Таким образом, единичный оператор не компактен. Можно показать, что единичный оператор в любом бесконечномерном банаховом пространстве не компактен. Это следует из теоремы Рисса о некомпактности единичного шара в бесконечномерном - пространстве. Пример. Является ли вполне непрерывным оператор , если . Оператор А задан не на всем пространстве . Действительно, если рассмотреть функцию , то и интеграл является расходящимся. Оператор А поэтому не является ограниченным и, следовательно, вполне непрерывным как отображение из в .
Теорема2. Если – компактный оператор, – ограниченный в банаховом пространстве , то операторы и – компактны. Если множество ограничено, то множество тоже ограничено. Следовательно, множество предкомпактно, а это и означает, что оператор компактен. Далее, если ограничено, то предкомпактно, а тогда в силу непрерывности множество тоже предкомпактно, то есть оператор компактен. В качестве основного примера линейного оператора рассмотрим оператор Фредгольма в пространстве , сопоставляющий функции новую функцию , определенную с помощью формулы , где некоторая непрерывная функция двух переменных. Оператор A называется интегральным, его линейность очевидна из линейности интеграла. Если ядро непрерывно по совокупности аргументов, то в соответствии с теоремой о непрерывной зависимости от параметра собственного интеграла, оператор A действует в линейном функциональном пространстве. Теорема 3. Оператор Фредгольма непрерывен в пространствах и . 1. Покажем, что оператор Фредгольма непрерывен в пространстве Таким образом, . Но непрерывная и, следовательно, ограниченная на сегменте функция, то есть и . 2. Покажем, что оператор Фредгольма ограничен и, следовательно, непрерывен в пространстве . По неравенству Коши Буняковского для каждого фиксированного , полагая, что , можно записать = . Интегрируем по : . Правая часть неравенства не зависит от и ограниченна, поэтому . Теорема 4. Пусть функция непрерывна на квадрате . Тогда интегральный оператор Фредгольма компактен в пространствах и . Докажем сначала компактность интегрального оператора Фредгольма впространстве . Рассмотрим последовательность и последовательность . 1. Покажем равностепенную непрерывность последовательности . На квадрате функция равномерно непрерывна по теореме Кантора, так как она непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве в . Значит, Оценим разность: при : . То есть последовательность равностепенно непрерывна. 2. Покажем равномерную ограниченность последовательности . Пусть . Тогда , а это и есть равномерная ограниченность. Итак, множество функций равномерно ограничено и равностепенно непрерывно, то есть в соответствии с критерием Арцела оператор является вполне непрерывным в пространстве . Но, так как из равномерной сходимости следует сходимость в среднем, оператор является вполне непрерывным и при действии из в . Теорема5. Интегральный оператор Фредгольма не имеет ограниченного обратного. Рассмотрим единичный шар в гильбертовом пространстве. Шар – замкнутое и ограниченное множество, но не компакт. Подействуем на него оператором . Если компактный оператор, то компакт. Если ограничен, то шар компакт или предкомпакт, что противоречит некомпактности единичного шара.
Комментарий. Итак, задача может оказаться корректной в одной паре пространств и некорректной в другой. Но некорректность интегрального уравнения Фредгольма первого рода не зависит от выбора пространств и устанавливается от противного: если задача корректна, то существует непрерывный оператор , и, следовательно, тождественный оператор компактен в соответствующем бесконечномерном пространстве, что невозможно.
Теорема 6. Вполне непрерывный оператор имеет замкнутое множество значений тогда и только тогда, когда конечномерно. . Пусть вполне непрерывный оператор, замкнуто и бесконечномерно. Тогда в силу теоремы 4 из пункта 2 существует ограниченный обратный оператор , определенный на всем , и поэтому произведение будет также вполне непрерывным оператором. Это противоречит теореме Рисса о некомпактности единичного шара в бесконечномерном пространстве. Обратное утверждение очевидно. Пример. Покажем, что оператор дифференцирования не компактен при действии и компактен при действии . 1. Рассмотрим в пространстве последовательность . Эта последовательность ограничена в , так как .Однако последовательность образов ее элементов некомпактна в пространстве . Чтобы это показать, рассмотрим . Выберем . Тогда при видно, что , то есть ни сама последовательность, ни любая её подпоследовательность даже не фундаментальны. Поэтому оператор дифференцирования не является компактным при действии . 2. Рассмотрим случай . Пусть - произвольная ограниченная последовательность в пространстве , то есть . Ясно, что и . Последовательность состоит из равномерно ограниченных непрерывных функций. Более того, последовательность равностепенно непрерывна. Действительно, так как , то найдётся такое , что . Поэтому . Это и означает, что последовательность не только равномерно ограниченна, но и равностепенно непрерывна, то есть компактна по критерию Арцела.
Комментарий. Таким образом, на паре пространств прямая задача дифференцирования корректна, обратная не корректна, так как оператор становится компактным и поэтомуне имеет ограниченного обратного. Пример. Рассмотрим оператор ,действующий по формуле .Показать, что оператор А непрерывно обратим. Найти . Линейный оператор называется непрерывно обратимым, если и существует обратный ограниченный оператор. Рассмотрим уравнение вида и покажем, что для существует единственное решение уравнения. Это будет означать, что для оператора А существует .
Полученное уравнение эквивалентно интегральному уравнению. Если данное уравнение имеет единственное решение, то исходное также будет однозначно разрешимым. Вычислим с: , тогда . Это означает разрешимость уравнения при . Следовательно, . Заметим, что это интегральный оператор с непрерывным ядром, который является ограниченным. Таким образом, к оператору А существует ограниченный обратный и , поэтому оператор А непрерывно обратим. Пример. Рассмотрим оператор , с областью определения . Доказать, что А – неограниченный линейный оператор. Доказать, что А – непрерывно обратим, найти . Оператор А неограничен, так как последовательность с под действием оператора перейдет в последовательность и при . Рассмотрим на уравнение и решим его методом Эйлера: . Значит, , , ограничен, т.е. . Действительно, . Следовательно, А неограниченный непрерывно обратимый оператор.
Пример. Рассмотрим оператор , действующий по формуле . Доказать, что А непрерывно обратим, найти . Оператор А является интегральным оператором Вольтера с непрерывным ядром, поэтому А ограничен. Рассмотрим уравнение . , где , причем и Следовательно, решение интегрального уравнения Вольтера равносильно решению следующей задачи Коши для ОДУ: Выпишем решение задачи Коши по методу Лагранжа: . Значит . Это оператор Вольтера 2-го рода и поэтому он ограничен.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.025 сек.) |