Здесь же рассматриваются методы нахождения решений

Диофант и история диофантовых уравнений.

Слайд.

Уважаемый председатель экзаменационной комиссии, уважаемые члены экзаменационной комиссии! Позвольте представить вашему вниманию результаты проведенного мной исследования по теме: «Диофантовы уравнения первой степени с двумя неизвестными».

Слайд.

Цель исследования: изучение методов решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

Задачи исследования:

· изложить историческую справку о возникновении и развитии теории неопределенных уравнений;

· рассмотреть числовые сравнения и их свойства; линейные сравнения с одним неизвестным и методы их решения;

· изложить методы решения диофантовых уравнений первой степени с n неизвестными, n ≥ 2;

· выполнить упражнения, относящиеся к теме исследования.

Слайд.

В первом параграфе излагается краткий исторический обзор возникновения и развития теории неопределенных (диофантовых) уравнений.

В наши дни каждый, кто занимался математикой как профессионал или как любитель, слышал о диофантовых уравнениях и даже о диофантовом анализе. За последние три десятка лет эта область стала «модной» благодаря своей близости к алгебраической геометрии — властительнице дум современных математиков.

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Историки считают, что Диофант Александрийский жил примерно в середине 3-го века н.э.

Слайд.

На могиле Диофанта есть стихотворение – задача, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года.

«Путник. Здесь прах погребен Диофанта.

И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.

Часть шестую его представляло прекрасное детство.

Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке провел Диофант.

Прошло пятилетие; он был осчастливлен рождением первенца сына.

Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши четыре года с тех пор, как сына лишился».

Решение задачи сводится к решению уравнения первой степени с одним неизвестным.

Слайд.

Пусть х – количество лет, прожитых Диофантом, тогда х/6 лет– он прожил ребенком, а х/12 лет – он прожил до появления пуха на его подбородке, х/7 лет– Диофант провел в бездетном браке, спустя 5 лет у него родился сын, который прожил х/2 лет. Отец пережил сына на 4 года. Решая уравнение х = х/6+х/12+х/7+5+х/2+4, получаем, что Диофант женился в 33 года, стал отцом на 38-ом году, потерял сына на 80-ом году и умер в 84года.

Слайд.

В «Арифметику» Диофанта входят весьма разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно.

Диофант практиковался в нахождении положительных целых и рациональных решений неопределенных уравнений первой и высших степеней, или систем таких уравнений.

Слайд.

После Диофанта многие ученые занимались решением диофантовых уравнений. В начале 17-го века – французский математик Баше де Мезирьяк рассматривает частные решения.

После Баше де Мезирьяка в XVII и XVIII веках различные правила для решения неопределенного уравнения 1-й степени с двумя неизвестными давали Роль, Эйлер и другие математики.

Слайд.

Цепные дроби к решению таких уравнений были применены Лагранжем.

Слайд.

Неопределенные уравнения 1-й степени стали записываться и решаться в форме сравнения значительно позже, начиная с Гаусса.

Произвольное неопределенное уравнение с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.

Во втором параграфе работы излагается также программный материал – элементы теории числовых сравнений и линейных сравнений с одним неизвестным. Подробно рассмотрены свойства конечных цепных дробей.

Слайд.

Третий параграф посвящен методам решения линейных диофантовых уравнений. Сформулированы определения линейного диофантова уравнения и его решения.

Определение. Линейным диофантовым уравнением с неизвестными называется уравнение вида , где , , .

Если b ≠ 0, то уравнение – ЛНДУ; если же b = 0, то уравнение – ЛОДУ.

Определение. Решением линейного диофантового уравнения называется упорядоченная последовательность целых чисел , такая, что .

Слайд.

Далее формулируется и доказывается теорема существования решения в целых числах и теорема о числе решений ЛДУ.

Теорема 1. При взаимно простых коэффициентах диофантово уравнение имеет решение в целых числах.

Теорема 2. Пусть - наибольший общий делитель коэффициентов . Диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда (д делит б, или б делится на д). Число решений такого уравнения равно либо нулю, либо бесконечности.

Слайд.

Здесь же рассматриваются методы нахождения решений.

Поиск по сайту: