ЛДУ с двумя неизвестными

, .

Линейное неоднородное уравнение, если c ≠ 0.

Слайд.

Если и:

а) не делится на , то решений нет по теореме 2.

б) делится на , то есть целочисленные решения, так как после деления на новое ЛДУ, но уже со взаимно простыми коэффициентами, имеет то же множество целочисленных решений.

Слайд.

, ,

Решениями ЛОДУ являются пары вида , где .

Если - частное решение ЛНДУ, а множество - общее решение соответствующего ЛОДУ, то общее решение ЛНДУ , определяется формулами , где .

Слайд.

В работе рассматриваются различные методы нахождения частных решений.

Метод1. (Метод подбора). Частные решения в некоторых случаях можно подобрать, учитывая, что .

Метод2. (Сведение к решению сравнения). Если это не удается, то свести ЛНДУ к линейному сравнению относительно любого из неизвестных, в частности, х: , - частное решение этого сравнения – первая компонента пары, - вторая компонента пары, пара - частное решение ЛДУ.

Слайд.

Метод3. (Использование теоремы о линейном разложении НОД).

Теорема. Если числа а и b — целые, то множество значений функции f(x; y) = ax + by от двух целочис­ленных аргументов х и у совпадает с множеством чисел, кратных d = НОД(а; b), то есть с множеством {..., -2d, -d, 0, d, 2d,...}.

Слайд.

Метод4. (С помощью аппарата цепных дробей): , , где - предпоследняя подходящая дробь в разложении в цепную дробь.

Слайд.

Алгоритм решения ЛНДУ с неизвестными, n >2, приведен в выпускной квалификационной работе.

Слайд.

Практическая часть работы содержит упражнения, иллюстрирующие изложенные методы решения ЛДУ, а также текстовые задачи, сводящиеся к решению таких уравнений. Некоторые из них приводятся на слайдах.

Пример. Решить уравнение методом сведения к линейному сравнению .

Решение.

Решим сравнение , . Применяя метод преобразования коэффициентов, получаем: ; , т.е. , . ;

Получили общее решение: , где .

Ответ. Общее решение находится по формулам , где .

Слайд.

Пример. С помощью цепных дробей найти все целые решения уравнения:

.

Решение.

(2, 5) = 1, следовательно, уравнение имеет решение в целых числах. Разложим в цепную дробь получим: =(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби. ; ; . На основании свойства подходящих дробей получим или . Умножив обе части равенства на (-7) получаем: , то есть , - частное решение. Все решения могут быть найдены по формулам или , .

Ответ. , .

Слайд.

Задача. На составление и решение диофантова уравнения.

В населенный пункт, с которым установлено лишь авиационное сообщение, требуется доставить 150 контейнеров груза. В распоряжении отправителей имеются транспортные самолеты грузоподъемностью соответственно в 8 и 13 контейнеров. Сколько понадобится самолетов того и другого типа для того, чтобы перевезти указанный груз одним рейсом? Грузоподъемность каждого самолета должна быть использована полностью.

Слайд.

Решение.

Пусть х, у - количество транспортных самолетов грузоподъемностью соответственно 8 и 13 контейнеров. По условию, в населенный пункт требуется доставить 150 контейнеров груза. Тогда (1). Составлено диофантово уравнение первой степени с двумя неизвестными. Решим его, перейдя к сравнению (2). Т.к. (4, 13) =1, то , , . Т.к. (4, 13) =1, то или , , .

Ответ. Понадобится 9 и 6 самолетов одного и другого типов, чтобы доставить 150 контейнеров груза.

В заключение отмечу. К решению ЛДУ сводятся разнообразные текстовые задачи, в которых неизвестные величины выражают количество предметов того или иного рода и потому являются натуральными (или неотрицательными целыми) числами. Благодаря методам Диофанта были разгаданы методы самого Архимеда. История методов Диофанта растягивается еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. И в настоящее время диофантовы труды привлекают к себе внимание исследователей – математиков, так как именно Диофант открыл нам мир арифметики и алгебры. Спасибо за внимание.

Поиск по сайту: