Лекция № 37. Тема 1 : Введение

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Часто, рассматривая явления, мы не можем непосредственно установить вид исследуемой зависимости у от х. Однако мы можем установить зависимость между функцией, её производными и аргументом.

Рассмотрим следующие две задачи.

1. Задача о радиоактивном распаде. Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества массы М пропорциональна количеству нераспавшегося вещества, т.е.

где k - коэффициент распада, который устанавливается экспериментально.

2. Задача о падении тела. С некоторой высоты падает тело массой т. Требуется установить по какому закону изменяется путь S, проходимый данным телом.

Согласно второму закону Ньютона имеем

, где , а .

Таким образом, получим .

Полученные соотношения представляют собой дифференциальные уравнения для нахождения функций и являются математи-ческими моделями соответствующих физических процессов.

1.2. Определение дифференциального уравнения

Определение 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется урав-нение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у (х) и её производные: .

Его общий вид

. (1)

Дифференциальные уравнения, у которых функция у (х) является функцией одного переменного, называются обыкновенными ДУ.

Определение 2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, для первой задачи – уравнение первого порядка, для второй – уравнение второго порядка.

Определение 3. Решением ДУ (1) называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Процесс отыскания решения ДУ называется интегрированием ДУ.

Замечание 1. Наряду с термином “решение ДУ“ употребляется термин “интеграл ДУ“, под которым, как правило, понимается решение ДУ, полученное неявно, т.е. в виде

Например, для дифференциального уравнения функцию обычно называют решением, а для ДУ - выражение обычно называют интегралом уравнения.

Поиск по сайту: