Лекция № 40

4.3. ЛОДУ-2 с постоянными коэффициентами

Общий вид ЛОДУ-2

, (1)

где

Будем искать решение этого уравнения в виде .

Подставим в уравнение (1):

(2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением.

В зависимости от значений корней характеристического уравнения возможны следующие три случая:

1. Корни уравнения и действительные и .

Тогда, очевидно, что и . Эти решения ЛНЗ, так как

В этом случае общее решение примет вид

. (3)

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Составим характеристическое уравнение:

Воспользуемся формулой (3):

.

2. Корни и действительные и

Тогда в качестве первого частного решения можно взять . Покажем, что в этом случае, является решением также функция . Подставим её в уравнение и с учетом теоремы Виета, получим

.

Эти решения ЛНЗ, так как

В этом случае общее решение примет вид

. (4)

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Составим характеристическое уравнени

Воспользуемся формулой (4)

.

3. Корни комплексно-сопряженные, т.е. .

Вначале покажем, что если является решением уравнения (1), то этому уравнению удовлетворяют функции u и v. Подставим в уравнение (1) и выделим действительную и мнимую части:

Подчеркнутый член и выражение в скобках равны нулю.

Итак, в этом случае частные решения имеют вид

и .

Если воспользоваться формулой Эйлера, которая будет доказана позже,

,

то

и, как показано выше, решениями уравнения (1) будут являться функции:

Очевидно, линейно-независимыми среди них будут

,

Так как

Окончательно, общее решение будет иметь вид

. (5)

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Составим характеристическое уравнение:

Воспользуемся формулой (5):

.

4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (ЛНДУ-2)

(6)

где функции непрерывны на некотором отрезке .

Ему соответствует однородное уравнение

(7)

Пусть известно общее решение уравнения (7)

. (8)

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ-2). Общее решение ЛНДУ-2 является суммой частного решения уравнения (6) и общего решения соответствующего однородного (7).

Вначале покажем, что является решением уравнения (6), для чего подставим его в уравнение (6) и сгруппируем члены

.

Сумма первых трёх членов левой части равенства равна нулю, так как - общее решение однородного уравнения, а сумма остальных трёх членов равна , так как - есть частное решение уравнения (6).

Таким образом, является решением уравнения (6).

Теперь покажем, что для любых начальных условий вида можно найти значения и , при которых решение удовлетворяло бы им. Подставим решение

в эти условия, тогда получим систему

(9)

Система (9) является линейной системой для определения и с определителем

так как и - ЛНЗ решения уравнения (7). Из решения системы (9) определяем и . Таким образом, является общим решением уравнения (6).

Замечание. Если - функции от х, то не существует общих методов интегрирования уравнений (6) и (7). Рассмотрим случай, когда известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Пусть нам известно общее решение уравнения (7), т.е. . Тогда решение уравнения (6) будем искать в виде

.

Продифференцируем это равенство:

В силу произвольности выбора функций и положим

(10)

Тогда

Подставляя в уравнение (6) и группируя члены, получаем

(11)

Выражения в скобках в формуле (11) равны нулю, объединяя полученные результаты, приходим к системе

(12)

из которой единственным образом находим и , так как её опре-делитель является определителем Вронского . И тогда

Пример 4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение уравнения

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение

Воспользуемся формулой (4) .

Здесь .

Составим систему (12)

Интегрируя последнее уравнение системы, находим , а из первого уравнения определяем

Окончательно получим общее решение

Поиск по сайту: