Лекция № 39. Тема 3 : ДУ высших порядков

3.1. Определение ДУ п -го порядка

Общий вид дифференциального уравнения п -го порядка (ДУ- п):

, (1)

или разрешенного относительно старшей производной:

.

Для поиска частного решения необходимо задать начальные условия:

. (2)

Определение 1. Общим решением или интегралом уравнения (1) назы-вается функция или соответст-венно, которая:

1. Удовлетворяет уравнению при любых значениях произвольных посто-янных .

2. При любых заданных начальных условиях (2) из области определения можно найти такие , что функция или соответственно будет удовлетворять условиям (2).

3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

3.2.1. .

Для нахождения решения данного уравнения необходимо проинтегри-ровать его п раз.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Проинтегрируем уравнение три раза:

3.2.2. (нет у).

При помощи замены уравнение принимает вид

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

После замены уравнение принимает вид

Это линейное уравнение, поэтому используем подстановку

Тогда получим

и

Так как , то

.

Интегрируя, окончательно получаем

3.2.3. (нет х).

При помощи замены …

уравнение принимает вид

.

Пример 3. Решить задачу Коши .

После замены получим уравнение с разде-ляющимися переменными:

Проинтегрируем:

.

Воспользуемся начальными условиями

Разрешим уравнение относительно и разделим переменные

Проинтегрируем

Из начальных условий находим и, окончательно, получаем частное решение

Поиск по сайту: