Поверхности 2-го порядка

Рассмотрим поверхности, которые в некоторой подходящей прямоугольной декартовой системе координат определяются уравнениями вида:

;	(1)	;	(6)
;	(2)	;	(7)
;	(3)	;	(8)
;	(4)	.	(9)
;	(5)

Эти поверхности называются невырожденными поверхностями 2-го порядка (или поверхностями 2-го порядка) в связи с тем, что они определяются уравнениями 2 степени относительно координат. Заметим, что уравнение 2 степени может задавать и другие поверхности (см., например, Математика, выпуск 1).

Поверхность, определяемая уравнением (1), называется эллипсоидом (рис. 1), уравнением (2) – однополостным гиперболоидом (рис. 2), уравнением (3) – двухполостным гиперболоидом (рис. 3), уравнением (4) – конусом 2-го порядка (рис. 4), уравнением (5) – эллиптическим параболоидом (рис. 5), уравнением (6) – гиперболическим параболоидом (рис. 6). Уравнения (7) – (9) задают в пространстве цилиндры, называемые эллиптическим, гиперболическим и параболическим цилиндрами соответственно (рис. 7 – 9).

Рис. 5. Эллиптический параболоид.

Рис. 6. Гиперболический параболоид.

Рис. 7. Эллиптический Цилиндр.

Рис. 8. Гиперболический цилиндр.

Рис. 9. Параболический цилиндр.

Форма и некоторые свойства поверхностей, изображённых на рисунках (1) – (9), вытекающие из их уравнений, изучаются с помощью метода параллельных сечений. При этом рассматривают сечения данной поверхности координатными плоскостями или плоскостями, параллельными им. Например, в сечении плоскостью однополостного гиперболоида, определяемого уравнением (2), получаем так называемый горловой эллипс с полуосями a и b (рис. 2), а в сечении координатными плоскостями и – гиперболы и

(рис. 2). Аналогичным образом может быть изучена форма и других поверхностей 2-го порядка (см. Математика, выпуск 1).

Пример 1. Установить тип поверхности, заданной уравнением и изобразить её на рисунке.

►Сравнив данное уравнение с каждым с уравнений (1) – (9), заключаем, что данное уравнение получается из уравнения (2) при Следовательно, оно определяет однополостный гиперболоид. В сечении плоскостью однополостного гиперболоида, определяемого уравнением (2), получаем горловой эллипс с полуосями и , а в сечении координатными плоскостями и – гиперболы и . Построив линии Г₁, Г₂, Г₃ в соответствующих координатных плоскостях, получаем изображение данной поверхности (рис. 2).◄

Пример 2. Изобразить тело, ограниченное плоскостями и цилиндром .

►На плоскости Оху уравнение определяет прямую, а в пространстве оно задаёт плоскость, проходящую через эту прямую параллельно оси Oz (рис. 10). На плоскости Оуz уравнение определяет параболу, а в пространстве оно задаёт цилиндр, для которого эта парабола является направляющей, а его образующие параллельны оси Ох (рис. 10). Рассматриваемый цилиндр пересекается с плоскостью по некоторой кривой, схематично изображённой на рис. 10. Остальные три грани данного тела расположены в координатных плоскостях.◄

Пример 3. Изобразить тело, ограниченное сферой и круговым параболоидом и находящееся внутри цилиндра.

►Найдём центр и радиус сферы. Для этого в её уравнении выделим полный квадрат из членов, содержащих у, получим: или . Таким образом, заключаем, что центр сферы находится на оси Оу в точке (0, 2), а радиус её равен 2 (рис. 11). Линией пересечения параболоида с плоскостью Oyz служит парабола, расположенная в этой плоскости и определяемая уравнением: (рис. 11). Сечениями этой поверхности плоскостью, перпендикулярной оси Oy, являются окружности. Линия пересечения заданных поверхностей определяется системой уравнений: или Первое уравнение этой системы имеет корни . Таким образом, линия пересечения данных поверхностей находится в плоскостях и , причём первая из них содержит только одну общую точку данных поверхностей (0, 4, 0) (рис. 11), а вторая – окружность, определяемая системой уравнений: Данное тело изображено на рис. 11.◄

Поиск по сайту: